普朗歇爾定理

普朗歇爾定理(又稱帕塞瓦爾-普朗歇爾恆等式[1] )是調和分析的重要定理,由米歇爾·普朗歇爾於1910年證明。它指出函數平方的積分等於其頻譜的平方的積分。也就是說,如果是實數線上的函數,並且是它的頻譜,那麼

或者寫成範數:

數學上更嚴格的描述是,令函數同時屬於兩個L p空間 ,那麼它的傅里葉變換屬於, 且為中的等距變換

這代表限制在上的傅里葉變換有一個唯一的等距擴張,有時候這個擴張也被稱為普朗歇爾變換。此變換同時也是幺正的,透過此變換,我們便可以好好的在平方可積函數上討論傅里葉變換

普朗歇爾定理可以被推廣到n歐氏空間以及局部緊阿貝爾群上,若是滿足一些其他的假設,普朗歇爾定理有另一個版本在非交換局部緊緻群上成立,更多細節可以參考非交換調和分析

由於在上內積與範數是相容的,我們也可以把普朗歇爾定理應用到內積上。也就是說,如果是兩個在內的函數,表示普朗歇爾變換,則

而如果屬於,有以及所以

參見

參考

  1. ^ Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert. Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics . Wiley. 1997: 11. ISBN 0-471-18433-0. 

外部連結