最短路問題
最短路徑問題是圖論研究中的一個經典算法問題,旨在尋找圖(由結點和路徑組成的)中兩結點之間的最短路徑。算法具體的形式包括:
- 確定起點的最短路徑問題 - 也叫單源最短路問題,即已知起始結點,求最短路徑的問題。在邊權非負時適合使用Dijkstra算法,若邊權為負時則適合使用Bellman-ford算法或者SPFA算法。
- 確定終點的最短路徑問題 - 與確定起點的問題相反,該問題是已知終結結點,求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同,在有向圖中該問題等同於把所有路徑方向反轉的確定起點的問題。
- 確定起點終點的最短路徑問題 - 即已知起點和終點,求兩結點之間的最短路徑。
- 全局最短路徑問題 - 也叫多源最短路問題,求圖中所有的最短路徑。適合使用Floyd-Warshall算法。
用於解決最短路徑問題的算法被稱做「最短路徑算法」,有時被簡稱作「路徑算法」。最常用的路徑算法有:
- Dijkstra算法
- A*算法
- Bellman-Ford算法
- SPFA算法(Bellman-Ford算法的改進版本)
- Floyd-Warshall算法
- Johnson最短路算法
- 雙向搜索
單源最短路徑算法
無向圖
權值要求 | 時間複雜度 | 作者 |
---|---|---|
ℝ+ | Dijkstra 1959 | |
ℝ+ | Johnson 1977 (二叉堆) | |
ℝ+ | Fredman & Tarjan 1984 (斐波那契堆) | |
ℕ | Thorup 1999 (要求常數時間複雜度的乘法)。 |
無權圖
算法 | 時間複雜度 | 作者 |
---|---|---|
廣度優先搜索 | Konrad Zuse 1945,Moore 1959 |
有向無環圖
使用拓撲排序算法可以在有權值的DAG中以線性時間( )求解單源最短路徑問題。
無負權的有向圖
假設邊緣權重均為整數。
算法 | 時間複雜度 | 作者 |
---|---|---|
O(V 2EL) | Ford 1956 | |
Bellman–Ford 算法 | O(VE) | Shimbel 1955, Bellman 1958, Moore 1959 |
O(V 2 log V) | Dantzig 1960 | |
Dijkstra's 算法(列表) | O(V 2) | Leyzorek et al. 1957, Dijkstra 1959, Minty (see Pollack & Wiebenson 1960), Whiting & Hillier 1960 |
Dijkstra's 算法(二叉堆) | O((E + V) log V) | Johnson 1977 |
…… | …… | …… |
Dijkstra's 算法(斐波那契堆) | O(E + V log V) | Fredman & Tarjan 1984, Fredman & Tarjan 1987 |
O(E log log L) | Johnson 1981, Karlsson & Poblete 1983 | |
Gabow's 算法 | O(E logE/V L) | Gabow 1983, Gabow 1985 |
Ahuja et al. 1990 | ||
Thorup | O(E + V log log V) | Thorup 2004 |