極向–環向分解

在向量分析中，極向–環向分解（英文：poloidal–toroidal decomposition）是亥姆霍茲分解的一個受限制的形式，常用於螺線向量場在球坐標系下的分析，如磁場和不可壓縮流體等。考慮一個三維向量場F滿足

$\nabla \cdot \mathbf {F} =0,$

可以被表示為一個軸矢量場（toroidal vector field）和一個極矢量場（poloidal vector field）的和：

$\mathbf {F} =\mathbf {T} +\mathbf {P} =\nabla \times \Psi \mathbf {r} +\nabla \times (\nabla \times \Phi \mathbf {r} ),$

其中$\mathbf {r}$是球坐標$(r,\theta ,\phi )$中的徑向矢量，縱場$\mathbf {T}$為

$\mathbf {T} =\nabla \times \Psi \mathbf {r}$

$\Psi (r,\theta ,\phi )$為一標量場，[2]橫場$\mathbf {P}$為

$\mathbf {P} =\nabla \times \nabla \times \Phi \mathbf {r}$

$\Phi (r,\theta ,\phi )$為一標量場。這一向量分解法是對稱的，因為縱場的旋度是橫場，而橫場的旋度是縱場。縱場與球心在原點的球面相切

$\mathbf {r} \cdot \mathbf {T} =0$,

而橫場的旋度同樣地與這些球面相切

$\mathbf {r} \cdot (\nabla \times \mathbf {P} )=0$.

若標量場$\Psi$和$\Phi$的平均值在任意半徑為$r$的球面上都等於零，則這一分解方式是唯一的。

另見

• Toroidal and poloidal

參考資料

• Hydrodynamic and hydromagnetic stability （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Chandrasekhar, Subrahmanyan; International Series of Monographs on Physics, Oxford: Clarendon, 1961, p. 622.
• Decomposition of solenoidal fields into poloidal fields, toroidal fields and the mean flow. Applications to the boussinesq-equations, Schmitt, B. J. and von Wahl, W; in The Navier-Stokes Equations II — Theory and Numerical Methods, pp. 291–305; Lecture Notes in Mathematics, Springer Berlin/ Heidelberg, Vol. 1530/ 1992.
• Anelastic Magnetohydrodynamic Equations for Modeling Solar and Stellar Convection Zones （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Lantz, S. R. and Fan, Y.; The Astrophysical Journal Supplement Series, Volume 121, Issue 1, Mar. 1999, pp. 247–264.
• Plane poloidal-toroidal decomposition of doubly periodic vector fields: Part 1. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Fields with divergence （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） and Part 2. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Stokes equations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. G. D. McBain. ANZIAM J. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 47 (2005) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Backus, George, Poloidal and toroidal fields in geomagnetic field modeling, Reviews in Geophysics, 1986, 24: 75–109, doi:10.1029/RG024i001p00075 .
• Backus, George; Parker, Robert; Constable, Catherine, Foundations of Geomagnetism, Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-41006-1 .