模冪

模冪（英語：modular exponentiation）是一種對模進行的冪運算，在計算機科學，尤其是公開密鑰加密方面有一定用途。

模冪運算是指求整數$b$的$e$次方$b^{e}$被正整數$m$所除得到的餘數$c$的過程，可用數學符號表示為$c=b^{e}{\bmod {m}}$。由$c$的定義可得$0\leq c<m$。

例如，給定$b=5$，$e=3$和$m=13$，$5^{3}=125$被13除得的餘數$c=8$。

指數$e$為負數時可使用擴展歐幾里得算法找到$b$模除$m$的模逆元$d$來執行模冪運算，即：

$c=b^{e}{\bmod {m}}=d^{-e}{\bmod {m}}$，其中 $e<0$且$b\cdot d\equiv 1{\pmod {m}}$。

即使在整數很大的情況下，上述模冪運算其實也是易於執行的。然而，計算模的離散對數（即在已知$b$，$c$和$m$時求出指數$e$）則較為困難。這種類似單向函數的表現使模冪運算可用於加密算法。

直接算法

計算模冪的最直接方法是直接算出$b^{e}$，再把結果模除$m$。假設已知$b=4$，$e=13$，以及$m=497$，要求$c$：

$c\equiv 4^{13}{\pmod {497}}$

可用計算器算得4¹³結果為67,108,864，模除497，可得c等於445。

注意到$b$只有一位，$e$也只有兩位，但$b^{e}$的值卻有8位。

強加密時$b$通常至少有1024位。考慮$b=5\times 10^{76}$和$e=17$的情況，$b$的長度為77位，$e$的長度為2位，但是$b^{e}$的值以十進制表示卻已經有1304位。現代計算機雖然可以進行這種計算，但計算速度卻大大降低。

用這種算法求模冪所需的時間取決於操作環境和處理器，時間複雜度為$\mathrm {O} (e)$。

空間優化

這種方法比第一種所需要的步驟更多，但所需內存空間和時間均大為減少，其原理為： 給定兩個整數$a$和$b$，以下兩個等式是等價的：

$c{\bmod {m}}=(a\cdot b){\bmod {m}}$

$c{\bmod {m}}=[(a{\bmod {m}})\cdot (b{\bmod {m}})]{\bmod {m}}$

算法如下：

1. 令$c=1$，$e'=0$。
2. $e'$自增1。
3. 令$c=(b\cdot c){\bmod {m}}$.
4. 若$e'<e$，則返回第二步；否則，$c$即為$c\equiv b^{e}{\pmod {m}}$。

再以$b=4$，$e=13$，$m=497$為例說明，算法第三步需要執行13次：

• $e'=1\cdot c=(1\cdot 4){\bmod {4}}97=4{\bmod {4}}97=4$
• $e'=2\cdot c=(4\cdot 4){\bmod {4}}97=16{\bmod {4}}97=16$
• $e'=3\cdot c=(16\cdot 4){\bmod {4}}97=64{\bmod {4}}97=64$
• $e'=4\cdot c=(64\cdot 4){\bmod {4}}97=256{\bmod {4}}97=256$
• $e'=5\cdot c=(256\cdot 4){\bmod {4}}97=1024{\bmod {4}}97=30$
• $e'=6\cdot c=(30\cdot 4){\bmod {4}}97=120{\bmod {4}}97=120$
• $e'=7\cdot c=(120\cdot 4){\bmod {4}}97=480{\bmod {4}}97=480$
• $e'=8\cdot c=(480\cdot 4){\bmod {4}}97=1920{\bmod {4}}97=429$
• $e'=9\cdot c=(429\cdot 4){\bmod {4}}97=1716{\bmod {4}}97=225$
• $e'=10\cdot c=(225\cdot 4){\bmod {4}}97=900{\bmod {4}}97=403$
• $e'=11\cdot c=(403\cdot 4){\bmod {4}}97=1612{\bmod {4}}97=121$
• $e'=12\cdot c=(121\cdot 4){\bmod {4}}97=484{\bmod {4}}97=484$
• $e'=13\cdot c=(484\cdot 4){\bmod {4}}97=1936{\bmod {4}}97=445$

因此最終結果$c$為445，與第一種方法所求結果相等。

與第一種方法相同，這種算法需要$\mathrm {O} (e)$的時間才能完成。但是，由於在計算過程中處理的數字比第一種算法小得多，因此計算時間至少減少了$\mathrm {O} (e)$倍。

算法偽代碼如下：

function modular_pow(b, e, m)
    if m = 1
        then return 0
    c := 1
    for e' = 0 to e-1
        c := (c * b) mod m
    return c

從右到左二位算法

第三種方法結合了第二種算法和平方求冪原理，使所需步驟大大減少，同時也與第二種方法一樣減少了內存占用量。

首先把$e$表示成二進制，即：

$e=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}2^{i}$

此時$e$的長度為$n$位。對任意$i$（$0\leq i<n$），$a_{i}$可取0或1任一值。由定義有$a_{n-1}=1$。

$b^{e}$的值可寫作：

$b^{e}=b^{\left(\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}2^{i}\right)}=\prod _{i=0}^{n-1}\left(b^{2^{i}}\right)^{a_{i}}$

因此答案$c$即為：

$c\equiv \prod _{i=0}^{n-1}\left(b^{2^{i}}\right)^{a_{i}}\ ({\mbox{mod}}\ m)$

偽代碼

下述偽代碼基於布魯斯·施奈爾所著《應用密碼學》。其中base，exponent和modulus分別對應上式中的$b$，$e$和$m$。

function modular_pow(base, exponent, modulus)
    if modulus = 1 then return 0
    Assert :: (modulus - 1) * (modulus - 1) does not overflow base
    result := 1
    base := base mod modulus
    while exponent > 0
        if (exponent mod 2 == 1):
           result := (result * base) mod modulus
        exponent := exponent >> 1
        base := (base * base) mod modulus
    return result

注意到在首次進入循環時，變量base等於$b$。在第三行代碼中重複執行平方運算，會確保在每次循環結束時，變量base等於$b^{2^{i}}{\bmod {m}}$，其中$i$是循環執行次數。

本例中，底數$b$的指數為$e=13$。 指數用二進制表示為1101，有4位，故循環執行4次。 4位數字從右到左依次為1，0，1，1。

首先，初始化結果$R$為1，並將b的值保存在變量$x$中：

$R\leftarrow 1\,(=b^{0}){\text{且 }}x\leftarrow b$.

第1步 第1位為1，故令$R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{1})$；

令$x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{2})$。

第2步 第2位為0，故不給R賦值；

令$x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{4})$。

第3步 第3位為1，故令$R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{5})$；

令$x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{8})$。

第4步 第4位為1，故令$R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{13})$；

這是最後一步，所以不需要對x求平方。

綜上，$R$為$b^{13}$。

以下計算$b=4$的$e=13$次方對497求模的結果。

初始化：

$R\leftarrow 1\,(=b^{0})$且$x\leftarrow b=4$。

第1步 第1位為1，故令$R\leftarrow R\cdot 4{\pmod {497}}\equiv 4{\pmod {497}}$；

令$x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{2})\equiv 4^{2}\equiv 16{\pmod {497}}$。

第2步 第2位為0，故不給R賦值；

令$x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{4})\equiv 16^{2}{\pmod {497}}\equiv 256{\pmod {497}}$。

第3步 第3位為1，故令$R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{5})\equiv 4\cdot 256{\pmod {497}}\equiv 30{\pmod {497}}$；

令$x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{8})\equiv 256^{2}{\pmod {497}}\equiv 429{\pmod {497}}$。

第4步 第4位為1，故令$R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{13})\equiv 30\cdot 429{\pmod {497}}\equiv 445{\pmod {497}}$；

綜上，$R$為$4^{13}{\pmod {497}}\equiv 445{\pmod {497}}$，與先前算法中所得結果相同。

該算法時間複雜度為O(log exponent)。指數exponent值較大時，這種算法與前兩種O(exponent)算法相比具有明顯的速度優勢。例如，如果指數為2²⁰ = 1048576，此算法只需執行20步，而非1,048,576步。

Lua實現

function modPow(b,e,m)
        if m == 1 then
                return 0
        else
                local r = 1
                b = b % m
                while e > 0 do
                        if e % 2 == 1 then
                                r = (r*b) % m
                        end
                        e = e >> 1     --Lua 5.2或更早版本使用e = math.floor(e / 2)
                        b = (b^2) % m
                end
                return r
        end
end

軟件實現

鑑於模冪運算是計算機科學中的重要操作，並且已有高效算法，所以許多編程語言和高精度整數庫都有執行模冪運算的函數：

• Python內置的pow()（求冪）函數[1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• .NET框架的BigInteger類的ModPow()方法
• Java的java.math.BigInteger類的modPow()方法
• Perl的Math::BigInt模塊的bmodpow()方法[2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Raku內置的expmod例程
• Go的big.Int類的Exp()（求冪）方法[3] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• PHP的BC Math庫的bcpowmod()函數[4] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• GNU多重精度運算庫（GMP）的mpz_powm()函數[5] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• FileMaker Pro的@PowerMod()函數（以1024位RSA加密為例）
• Ruby的openssl包的OpenSSL::BN#mod_exp方法[6] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• HP Prime計算器的CAS.powmod()函數[7]

另見

• 蒙哥馬利算法，用於計算模很大時的餘數。

外部連結

• Schneier, Bruce. Applied Cryptography: Protocols, Algorithms, and Source Code in C, Second Edition 2nd. Wiley. 1996. ISBN 978-0-471-11709-4. 
• Paul Garrett, Fast Modular Exponentiation Java Applet （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Gordon, Daniel M. A Survey of Fast Exponentiation Methods (PDF). Journal of Algorithms (Elsevier BV). 1998, 27 (1): 129–146 [2019-11-30]. ISSN 0196-6774. doi:10.1006/jagm.1997.0913. （原始內容存檔 (PDF)於2019-08-27）.