正二十四胞體

幾何學上，正二十四胞體（Icositetrachoron），又稱為復正八面體或正八面復立方體，是六個四維凸正多胞體之一，施萊夫利符號是{3,4,3}。正二十四胞體擁有許多獨一無二的性質，既不是正單純形也不是正多邊形的自身對偶多胞形，也是唯一沒有好的3維類比的四維凸正多胞體，但它可以被類比為一對多面體：截半立方體和菱形十二面體。

正二十四胞體 （24-胞） 4-體
類型	四維凸正多胞體
對偶多胞形	自身對偶
數學表示法
考克斯特符號
施萊夫利符號	{3,4,3}
性質
胞	24 (3.4.3)
面	96 {3}
邊	96
頂點	24
組成與佈局
頂點圖	(4.4.4)
特性
凸、等角、等邊、等面

展開圖

性質

正二十四胞體由24個正八面體胞組成，於每頂點有八個相接。正二十四胞體共有96個三角形面、96條邊，24個頂點，其頂點圖是立方體。正二十四胞體是自身對偶。對於邊長為a的正二十四胞體，其超體積是2a⁴，表體積是8√2a³。

若一個正二十四胞體的棱長為1，則其外接超球的半徑為1,其外中交超球（經過正二十四胞體每條棱的中點的三維超球）半徑為${\frac {\sqrt {3}}{2}}\approx 0.866025403$，其內中交超球（經過正二十四胞體每個面的中心）半徑為${\frac {\sqrt {6}}{3}}\approx 0.81649658$,其內切超球半徑為${\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0.707106781$。

構造法

以下頂點構成中心於原點，邊長為1的正二十四胞體：

8個由以下坐標的所有不同排列得出

(±1, 0, 0, 0)，

另外16個則有形式

(±½, ±½, ±½, ±½)。

首8頂點構成正十六胞體，另外16個則是其對偶超正方體。（3維空間的類似構造得出的並非正多面體，而是菱形十二面體。）其餘16點按負號數目的奇偶再分成兩組，則此三組每組都構成正十六胞體，其對偶超正方體是其餘的頂點構成。

與上面的正十二胞體對偶的正二十四胞體是以下坐標的所有不同排列

(±1, ±1, 0, 0)，

邊長為√2，外接於半徑√2的3-球面。實際上，這個正二十四胞體是作為截半正十六胞體存在的。正十六胞體的頂點圖是正八面體，意味着截去正十六胞體的頂點會出現正八面體胞，而在棱長中點出截去正十六胞體的正四面體胞的角（「截半」）也會出現正八面體胞，總共16+8=24個正八面體胞。

堆砌

二十四胞體可以填滿4維歐幾里得空間，這種幾何結構稱為正二十四胞體堆砌。這個堆砌體的施萊夫利符號是{3,4,3,3}。其對偶多胞體為正十六胞體堆砌，在施萊夫利符號中以{3,3,4,3}表示，由正十六胞體組成。連同超正方體鑲嵌{4,3,3,4}，R⁴僅有的三個正堆砌體。

對稱性、根系和密鋪

考克斯特F₄群平面下的投影，展現了正二十四胞體(紅點)和它的對偶(黃點)。

如果把正二十四胞體的24個頂點看作位置向量的話，它們能構成一個簡單李群D₄，這二十四個頂點處於3個互相平行的超平面之上，2對6個頂點分別處於外側的兩個超平面上，構成兩個正八面體（就是兩個胞），其餘12個頂點處於中間的超平面之上，構成截半立方體。而這24個頂點又可拆分成超立方體的16個頂點和正十六胞體的8個頂點，應此作為截半正十六胞體和雙稜錐正二十四胞體（截半正十六胞體的對偶），正二十四胞體也具有BC₄對稱性。正二十四胞體和它的對偶正二十四胞體的共48個頂點（的位置向量）構成了F₄對稱群，它包含了兩個D₄對稱群，大小是後者的√2倍。正二十四胞體的全部對稱性構成了外爾群F₄，由與F₄的根正交的超平面反射構成，它是一個群階為1152的旋轉反射群。正二十四胞體的純旋轉群群階為576。如果把正二十四胞體的頂點看作是四元數，由於單位四元數乘除等同於旋轉，能夠構造出一個等同於只有旋轉的外爾群F₄的乘法群。其它正多胞形，如正十六胞體和正六百胞體也有該性質。

四元數解釋

當我們用四元數來解釋時，F₄根格（即正二十四胞體所有頂點的完整共軛）在乘法下封閉，這意味着其形成了一個環。這是一個哈維茲整四元數構成的環。正二十四胞體的頂點形成了哈維茲四元數環（這一群也被叫做二元四面體群）中的單位群（由可逆元組成的群）。正二十四胞體的24個頂點恰好就是24個範數為1的哈維茲四元數，而其對偶的24個頂點則是24個範數為√2的哈維茲四元數。D₄根格是F₄的對偶，其是哈維茲四元數有着偶數範數平方的子環。

其它四維凸正多胞體的頂點也能形成可乘的四元數群，但它們都不能形成根格。

沃羅諾伊胞

D₄根格的沃羅諾伊胞是正二十四胞體。對應的密鋪是正二十四胞體的四維歐式空間R⁴密鋪。正二十四胞體的中心位於D₄格點（偶平方範數的哈維茲整四元數）處，而其頂點位於F₄格點（奇平方範數的哈維茲整四元數）處，這一密鋪中每個正二十四胞體都有24個正二十四胞體相鄰，共用正八面體胞，有32個正二十四面體只共用定點。這一密鋪中每個頂點有8個正二十四面體相交。這一密鋪的施萊夫利符號為{3,4,3,3}。

有趣的是，密鋪中這些正二十四胞體的內切四維球組成了四維歐式空間中最密的超球密鋪。正二十四胞體的定點構型亦有四維空間中最大的接觸數。

可視化

中心投影	線架投影	球極投影	正二十四胞體 穿越三維空間
旋轉着的 中心投影

二維正交線架投影

考克斯特平面	F4
圖像
二面體群	[12]
考克斯特平面	B3 / A2 (a)	B3 / A2 (b)
圖像
二面體群	[6]	[6]
考克斯特平面	B4	B2 / A2
圖像
二面體群	[8]	[4]

外部連結

• 正二十四胞體動畫
• 正二十四胞體的球極平面投影 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 正二十四胞體的圖和描述
• Regular Convex Four-Dimensional Polytopes 提供了正二十四胞體部分的幾何數據

四維正多胞體
正五胞體	超立方體	正十六胞體	正二十四胞體	正一百二十胞體	正六百胞體
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}