正交座標系

數學裏,一個正交坐標系定義為一組正交坐標,其坐標曲面都以直角相交(注意:很多作者採用愛因斯坦記號對坐標標號使用上標並非表示指數)。坐標曲面定義為特定坐標等值曲面,即為常數的曲線曲面超曲面。例如,三維直角坐標是一種正交坐標系,它的為常數,為常數,為常數的坐標曲面,都是互相以直角相交的平面,都互相垂直。正交坐標系是曲線坐標系的特殊的但極其常見的形式。

動機

正交座標時常用來解析一些出現於量子力學流體動力學電動力學熱力學等等的偏微分方程。舉例而言,選擇一個恰當的的正交座標來解析氫離子 波函數或消防水管的噴水,也許會比用直角座標方便的多。這主要是因為恰當的正交座標能夠與一個問題的對稱性相配合,從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧,專門用來將一個複雜的 維問題變為 個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程亥姆霍茲方程,這些方程式可以用很多種正交座標來分離。拉普拉斯方程可以在13個正交坐標系中分離(本文列出的14個中圓環坐標系除外),而亥姆霍茲方程可以在11個正交坐標系中分離[1][2]

概述

 
共形映射作用於矩形網格。注意,彎曲的網格的正交性被保留。

正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說,無窮小距離的平方 ,可以寫為無窮小坐標位移的平方和:

 

其中, 是維數,標度因子 是度規張量的對角元素 的平方根:

 

這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如,梯度拉普拉斯算子散度、或旋度

在數學裏,存在有各種各樣的正交座標系。應用二維直角座標系 共形映射方法,可以簡易的生成這些正交座標系。一個複數 的任何全純函數 ,其複值的導數,如果不等於零,則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為 ,則  的等值曲線以直角相交,就如同原本的  的等值曲線以直角相交。

三維與更高維的正交座標系可以由一個二維正交座標系生成,只要將二維正交座標往一個新的座標軸投射(形成類似圓柱座標系的座標系),或者將二維正交座標繞著其對稱軸旋轉。可是,也有一些三維正交座標系,例如橢球座標系,則不能夠用上述方法得到。更一般的正交坐標可以從一些必要的坐標曲面/曲線起步並通過考慮它們的正交軌跡線英語Orthogonal trajectory而得到。

向量代數

在正交坐標系裏,內積的公式仍舊不變:

 

向量微積分

從前面的距離公式,可以觀察出,一個正交坐標 的無窮小改變 ,其相伴的長度是 。因此,一個位移向量的全微分 等於

 

其中, 是垂直於 等值曲面的單位向量,指向著 增值最快的方向,這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。

因此,向量 沿著周線 的線積分等於

 

其中, 是向量 在單位向量 方向的分量:

 

類似地,一個無窮小面積元素是

 

一個無窮小體積元素是

 

例如,向量 對於一個曲面 的曲面積分是

 

球坐標系實例

 

直角坐標 與球坐標 的變換方程式為

 
 
 

直角坐標的全微分是

 
 
 

所以,無窮小距離的平方是

 

標度因子是

 
 
 

向量 沿著周線 的線積分等於

 

向量 對於一個曲面 的曲面積分是

 

三維微分算子

算子 正交坐標公式
標量場梯度  
向量場散度  
向量場旋度  
標量場拉普拉斯算子  

上面表達式可以使用列維-奇維塔符號 的更簡潔形式書寫,定義 ,並使用愛因斯坦記號,即在同時出現上標和下標的項目上求此項所有可能的總和:

算子 表達式
標量場梯度  
向量場散度  
向量場(只3D)的旋度  
標量場的拉普拉斯算子  

二維正交坐標系表格

坐標系 複數變換

 

  等值線的形狀 注釋
直角   直線, 直線
對數極英語Log-polar coordinates   圓, 直線  則為極坐標系
拋物線   拋物線, 拋物線
點偶極   圓, 圓
橢圓   橢圓, 雙曲線 對於大距離看似對數極
雙極   圓, 圓 對於大距離看似點偶極
  雙曲線, 雙曲線
  橢圓, 拋物線
直角
單極
對數極
橢圓-拋物線
拋物線
點偶極
sqrt(u+iv)
橢圓
雙極
反對數極

三維正交坐標系表格

除了直角坐標系之外,下表列出其他常見的正交坐標系[3],為了簡明性在坐標列中使用了區間符號

曲線坐標 (q1, q2, q3) 從直角坐標(x, y, z)轉換 縮放因子
球極坐標系

 

   
圓柱坐標系

 

   
拋物柱面坐標系

 

   
拋物線坐標系

 

   
橢圓柱坐標系

 

   
長球面坐標系

 

   
扁球面坐標系

 

   
雙極圓柱坐標系

 

   
圓環坐標系

 

   
雙球坐標系

 

   
圓錐坐標系

 

   
拋物面坐標系

 

 

其中  

 
橢球坐標系

 

 

其中  

 

微分算子導引

梯度導引

一個函數 的梯度朝某個方向 的分量,等於方向導數   方向的值:

 

其中, 是朝 方向的無窮小位移。

假若,這 與正交坐標軸 同方向。那麼, 。所以,函數 的梯度朝 的分量是 ;也就是說,

 

散度導引

 

取右手邊第一個項目,

 

應用向量恆等式  ,可以得到

 

總合所有項目,

 


旋度導引

 

取右手邊第一個項目,

 

應用向量恆等式 

 

應用向量恆等式 

 

總合所有項目,

 

拉普拉斯算子

 

引用

  1. ^ Eric W. Weisstein. Orthogonal Coordinate System. MathWorld. [10 July 2008]. (原始內容存檔於2014-11-12). 
  2. ^ Morse and Feshbach 1953,Volume 1, pp. 494-523, 655-666.
  3. ^ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

參見

參考文獻

  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, pp. 164-182。
  • Morse PM and Feshbach H. (1953) Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, pp. 494-523, 655-666。
  • Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172-192。