泊松方程

泊松方程（法語：Équation de Poisson）是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程式，因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。

方程的敘述

泊松方程式為

$\Delta \varphi =f$

在這裡$\Delta$代表的是拉普拉斯算子，而$f$和$\varphi$可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為${\nabla }^{2}$，因此泊松方程通常寫成

${\nabla }^{2}\varphi =f$

在三維直角坐標系，可以寫成

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).$

如果有$f(x,y,z)$恆等於0，這個方程式就會變成一個齊次方程，這個方程稱作「拉普拉斯方程」。

$\Delta \varphi =0.\!$

泊松方程可以用格林函數來求解；如何利用格林函數來解泊松方程可以參考屏蔽泊松方程。現在也發展出很多種數值解，如鬆弛法（一種迭代法）。

數學表達

通常泊松方程式表示為

$-\Delta \varphi =f$

這裡$\Delta$代表拉普拉斯算子，$f$為已知函數，而$\varphi$為未知函數。當$f=0$ 時，這個方程被稱為拉普拉斯方程。

為了解泊松方程我們需要更多的信息，比如狄利克雷邊界條件:

${\begin{cases}-\Delta \varphi =f&{\text{in}}\ \Omega \\\varphi =g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}$

其中 $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ 為有界開集。

這種情況下利用基礎函數構建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基礎函數為:

$\Phi (x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{n(n-2)\omega _{n}}}{\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}$

其中$\omega _{n}$為n維歐幾里得空間中單位球面的體積，此時可通過卷積$(\Phi *f)$得到 $-\Delta \varphi =f$的解。

為了使方程滿足上述邊界條件，我們使用格林函數

$G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)$

$\phi ^{x}$ 為一個校正函數，它滿足

${\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}$

通常情況下$\phi ^{x}$是依賴於$\Omega$。

通過 $G(x,y)$可以給出上述邊界條件的解

$u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G}{\partial \nu }}(x,y)\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y$

其中$\sigma$ 表示$\partial \Omega$上的曲面測度。

此方程的解也可通過變分法得到。

靜電學

在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電位的問題。在國際單位制（SI）中：

${\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}$

此$\Phi \!$代表電勢（單位為伏特），$\rho \!$是體電荷密度（單位為庫侖/立方公尺），而$\epsilon _{0}\!$是真空電容率（單位為法拉/公尺）。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子，則

$\rho =0,\,$

此方程式就變成拉普拉斯方程：

${\nabla }^{2}\Phi =0.$

高斯電荷分佈的電場

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度 $\rho (r)$：

$\rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},$

此處，Q代表總電荷

此泊松方程式：${\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}$ 的解Φ(r)則為

$\Phi (r)={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)$

erf(x)代表的是誤差函數.

注意：如果r遠大於σ，erf(x)趨近於1，而電場Φ(r)趨近點電荷電場 ${1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{Q \over r}$；正如我們所預期的。

參閱

• 離散泊松方程
• 泊松-玻爾茲曼方程
• 泊松方程的唯一性定理

參考文獻

來源

• Poisson Equation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Poisson equation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Poisson's equation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on PlanetMath.