混合長理論

在流體動力學中，混合長理論是一種通過渦流粘度在牛頓流體邊界層內通過湍流雷諾應力來描述流體動量傳遞的方法。該理論由普朗特在 20 世紀初開發。 普朗特本人對該模型持保留態度，將其描述為「只是一個粗略的近似」 ，但從那時起它就被用於許多領域，包括大氣科學、海洋學和恆星結構等方面的研究。

混合長度是一團流體在分散到周圍流體中之前保持其原始特性的距離。這裡，圖左側的標尺就是混合長度。

壁面定律，壁面附近水平速度與混合長度模型

物理直覺

混合長度在概念上類似於熱力學中平均自由程的概念：流體團將保持其特性為特徵長度，記作$\ \xi '$ ，在與周圍的流體混合之前。普朗特描述稱 ，混合長可以被視為流體以整體移動時的直徑，或者是一團流體與附近流體充分混合前所移動的距離。

上圖中，溫度$\ T$ ，隨着流體團在溫度梯度上移動，在一定距離內是守恆的。流體團在整個過程中經歷的溫度波動是$\ T'$ ，所以$\ T'$可以看作是它移動超過這個混合長後與其周圍環境的溫度偏差$\ \xi '$ 。

數學公式

首先，必須首先能夠將一個量表示為它們緩慢變化的分量和波動分量的總和。這個過程稱為雷諾分解。溫度可以表示為：

$T={\overline {T}}+T'$,

$\ {\overline {T}}$ 是緩慢變化的分量，$\ T'$是波動分量。

在上圖中，$\ T'$可以用混合長度表示：

$\ T'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {T}}}{\partial z}}.$

速度的波動分量， $\ u'$, $\ v'$ ， 和$\ w'$, 也可以用類似的方式表示：

$\ u'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}},\qquad \ v'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {v}}}{\partial z}},\qquad \ w'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}.$

儘管這樣做的理論依據較弱，因為壓力梯度力可以顯着改變波動分量。此外，對於垂直速度的情況，$\ w'$必須在中性分層流體中。

取水平和垂直波動的乘積可得：

$\ {\overline {u'w'}}={\overline {\xi '^{2}}}\left|{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}\right|{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}$ .

渦流粘度由上式定義為：

$\ K_{m}={\overline {\xi '^{2}}}\left|{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}\right|$ ,

就得到了渦流粘度$\ K_{m}$以混合長度 $\ \xi '$ 表示的式子。

另見

• 壁面定律
• 雷諾應力方程模型