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空多胞形

不存在任何元素的多胞形

在抽象幾何學（英語：Abstract_polytope）中，空多胞形，又稱虛無多胞形（英語：Null polytope）或零胞體（英語：Nullitope）是指不存在任何元素的多胞形[1]，對應到集合論中即為空集[2]。在抽象理論（英語：Abstract_polytope）中，所有多胞形都含有空多胞形[3]，對應到集合論中即為空集是任意集合的子集，因此有時會稱空多胞形為所有多胞形的基底或本質[4]。空多胞形的維度是負一維[5][6][7][8] ，是所有多胞形中維度數最低的元素[9][10][11]。在空多胞形中，最高維度的元素和最低維度的元素是同一個元素[12]。此外，所有空多胞形皆屬於正圖形[13]。

虛無多胞形
Null polytope
上圖以正方形展示一個二維正多胞形的組成元素：一個二維正多胞形（正方形）、四個一維正多胞形（線段）、四個零維正多胞形（頂點）和一個負一維正多胞形（空集）
類型抽象多胞形（英語：Abstract_polytope）
維度-1
對偶多胞形自身對偶
數學表示法
考克斯特符號
（英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號
性質
胞無任何維度的胞
特性
正、空集合、抽象（英語：Abstract_polytope）

負一維空間

在抽象幾何學（英語：Abstract_polytope）中，負一維空間表示比零維空間還低一個維度的負維空間，其代表了空多胞形本身的維度，由於空多胞形是一個空集合，因此負一維空間也等於一個空空間（英語：null space、或稱虛無空間、零空間）[3]。也可以定義更低的維度作為空多胞形的基底，或空多胞形的維面，即超空多胞形（英語：Dinull polytope），存於負二維空間[14]，不過由於空多胞形已經是空集合了，因此一般不會給「空多胞形的維面」加以定義，或可以理解為超空多胞形並不存在，即空多胞形的維面不存在，或負二維空間不存在，否則如此定義可以一直不停遞迴下去，例如討論「超空多胞形的維面」的定義，這不具有任何意義，且這概念僅有出現在文學作品中[15]，尚未有普遍接受的學術定義。

負一維空間僅是在抽象理論（英語：Abstract_polytope）表示一個比零維多胞形更低維度的一個元詞。此外存於負一維空間的多胞形只有空多胞形。[16]

正零胞形

正零胞形
類別空多胞形
正圖形
對偶多面體自身對偶
性質
胞0
面0
歐拉特徵數未定義

依據正圖形的定義，一個多胞形必須要具備嚴格的特徵可遞特性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如：點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，而零維多胞形的元素僅有{F−1, F0}、負一維多胞形的元素僅有{F−1}。由於在抽象理論（英語：Abstract_polytope）中，所有多胞形都含有空多胞形[3]因此正零胞形也必須是正圖形才能滿足所有元素都是正圖形的定義。

另外，正零邊形也可以視為零維或以下的正圖形，或看做是空多胞形。

參見

參考文獻

  1. ^ H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes, Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. 2012. ISBN 9780486141589. 
  2. ^ Johnson, Norman（英語：Norman Johnson (mathematician)）. Polytopes-abstract and real. Citeseer. 2003 [2016-08-02]. （原始內容存檔於2017-03-05）. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Guy Inchbald. Vertex figures: The complete vertex and general vertex figures. steelpillow. 2005-01-06 [2016-08-02]. （原始內容存檔於2016-08-19）. 
  4. ^ Polytopes of Various Dimensions. polytope.net. [2016-08-02]. （原始內容存檔於2016-11-26）. 
  5. ^ JOHNSON, Norman. Polytopes-abstract （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） and real. 2003.
  6. ^ Olshevsky, George. Uniform Panoploid Tetracombs. Unpublished manuscript. 2006. 
  7. ^ Showers, Patrick J. Abstract Polytopes from Nested Posets (Ph.D.論文). University of Akron. 2013. 
  8. ^ Guy Inchbald. Ditela, Polytopes and Dyads. steelpillow. [2021-08-02]. （原始內容存檔於2018-10-18）. 
  9. ^ Fernández, Jose Abraham Caravaca. "Seminar. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）"
  10. ^ SHOWERS, Patrick J. Abstract Polytopes from Nested Posets. 2013. PhD Thesis. University of Akron.
  11. ^ Johnson, N.W., Geometries and Transformations, Cambridge University Press: pp. 224–225, 2018 [2021-08-04], ISBN 9781107103405, LCCN 2017009670, （原始內容存檔於2021-08-04） 
  12. ^ Diudea, Mircea Vasile, Definitions in Polytopes, Multi-shell Polyhedral Clusters (Springer), 2018: 37––54, ISBN 978-3-319-64123-2, doi:10.1007/978-3-319-64123-2_3 
  13. ^ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.226
  14. ^ Wolcott, Luke; McTernan, Elizabeth. Imagining Negative-Dimensional Space (PDF). Bosch, Robert; McKenna, Douglas; Sarhangi, Reza (編). Proceedings of Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. Phoenix, Arizona, USA: Tessellations Publishing: 637–642. 2012 [25 June 2015]. ISBN 978-1-938664-00-7. ISSN 1099-6702. （原始內容 (PDF)存檔於2015-06-26）. 
  15. ^ Wood, E. The Second Dimension: The Sacred Eye of Mob Island. Second Dimension. Createspace Independent Pub. 2015. ISBN 9781505724806. 
  16. ^ Regular Polytopes and Honeycombs. [2016-08-02]. （原始內容存檔於2016-08-02）. 

外部連結

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