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等冪和差公式
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等冪和差
，又稱冪和差，指同是n次冪的a與b的和與差，所得出來的
乘法公式
。
等冪和的因式分解
a
3
+
b
3
≡
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
a
5
+
b
5
≡
(
a
+
b
)
(
a
4
−
a
3
b
+
a
2
b
2
−
a
b
3
+
b
4
)
{\displaystyle a^{5}+b^{5}\equiv (a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4})\,\!}
a
6
+
b
6
≡
(
a
2
+
b
2
)
(
a
4
−
a
2
b
2
+
b
4
)
{\displaystyle a^{6}+b^{6}\equiv (a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4})\,\!}
a
7
+
b
7
≡
(
a
+
b
)
(
a
6
−
a
5
b
+
a
4
b
2
−
a
3
b
3
+
a
2
b
4
−
a
b
5
+
b
6
)
{\displaystyle a^{7}+b^{7}\equiv (a+b)(a^{6}-a^{5}b+a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}-ab^{5}+b^{6})\,\!}
a
9
+
b
9
≡
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
(
a
6
−
a
3
b
3
+
b
6
)
{\displaystyle a^{9}+b^{9}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{6}-a^{3}b^{3}+b^{6})\,\!}
a
10
+
b
10
≡
(
a
2
+
b
2
)
(
a
8
−
a
6
b
2
+
a
4
b
4
−
a
2
b
6
+
b
8
)
{\displaystyle a^{10}+b^{10}\equiv (a^{2}+b^{2})(a^{8}-a^{6}b^{2}+a^{4}b^{4}-a^{2}b^{6}+b^{8})\,\!}
a
11
+
b
11
≡
(
a
+
b
)
(
a
10
−
a
9
b
+
a
8
b
2
−
a
7
b
3
+
a
6
b
4
−
a
5
b
5
+
a
4
b
6
−
a
3
b
7
+
a
2
b
8
−
a
b
9
+
b
10
)
{\displaystyle a^{11}+b^{11}\equiv (a+b)(a^{10}-a^{9}b+a^{8}b^{2}-a^{7}b^{3}+a^{6}b^{4}-a^{5}b^{5}+a^{4}b^{6}-a^{3}b^{7}+a^{2}b^{8}-ab^{9}+b^{10})\,\!}
a
12
+
b
12
≡
(
a
4
+
b
4
)
(
a
8
−
a
4
b
4
+
b
8
)
{\displaystyle a^{12}+b^{12}\equiv (a^{4}+b^{4})(a^{8}-a^{4}b^{4}+b^{8})\,\!}
a
13
+
b
13
≡
(
a
+
b
)
(
a
12
−
a
11
b
+
a
10
b
2
−
a
9
b
3
+
a
8
b
4
−
a
7
b
5
+
a
6
b
6
−
a
5
b
7
+
a
4
b
8
−
a
3
b
9
+
a
2
b
10
−
a
b
11
+
b
12
)
{\displaystyle a^{13}+b^{13}\equiv (a+b)(a^{12}-a^{11}b+a^{10}b^{2}-a^{9}b^{3}+a^{8}b^{4}-a^{7}b^{5}+a^{6}b^{6}-a^{5}b^{7}+a^{4}b^{8}-a^{3}b^{9}+a^{2}b^{10}-ab^{11}+b^{12})\,\!}
a
14
+
b
14
≡
(
a
2
+
b
2
)
(
a
12
−
a
10
b
2
+
a
8
b
4
−
a
6
b
6
+
a
4
b
8
−
a
2
b
10
+
b
12
)
{\displaystyle a^{14}+b^{14}\equiv (a^{2}+b^{2})(a^{12}-a^{10}b^{2}+a^{8}b^{4}-a^{6}b^{6}+a^{4}b^{8}-a^{2}b^{10}+b^{12})\,\!}
注意當n是2、4、8、16、32 ......(
2的冪
)的時侯是無法進行因式分解的。
等冪差的因式分解
a
2
−
b
2
≡
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}\equiv (a-b)(a+b)\,\!}
a
3
−
b
3
≡
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}-b^{3}\equiv (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!}
a
4
−
b
4
≡
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle a^{4}-b^{4}\equiv (a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})\,\!}
a
5
−
b
5
≡
(
a
−
b
)
(
a
4
+
a
3
b
+
a
2
b
2
+
a
b
3
+
b
4
)
{\displaystyle a^{5}-b^{5}\equiv (a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})\,\!}
a
6
−
b
6
≡
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{6}-b^{6}\equiv (a-b)(a+b)(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
a
7
−
b
7
≡
(
a
−
b
)
(
a
6
+
a
5
b
+
a
4
b
2
+
a
3
b
3
+
a
2
b
4
+
a
b
5
+
b
6
)
{\displaystyle a^{7}-b^{7}\equiv (a-b)(a^{6}+a^{5}b+a^{4}b^{2}+a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}+ab^{5}+b^{6})\,\!}
a
8
−
b
8
≡
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
2
+
b
2
)
(
a
4
+
b
4
)
{\displaystyle a^{8}-b^{8}\equiv (a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})(a^{4}+b^{4})\,\!}
a
9
−
b
9
≡
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
6
+
a
3
b
3
+
b
6
)
{\displaystyle a^{9}-b^{9}\equiv (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})(a^{6}+a^{3}b^{3}+b^{6})\,\!}
a
10
−
b
10
≡
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
4
+
a
3
b
+
a
2
b
2
+
a
b
3
+
b
4
)
(
a
4
−
a
3
b
+
a
2
b
2
−
a
b
3
+
b
4
)
{\displaystyle a^{10}-b^{10}\equiv (a-b)(a+b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4})\,\!}
a
11
−
b
11
≡
(
a
−
b
)
(
a
10
+
a
9
b
+
a
8
b
2
+
a
7
b
3
+
a
6
b
4
+
a
5
b
5
+
a
4
b
6
+
a
3
b
7
+
a
2
b
8
+
a
b
9
+
b
10
)
{\displaystyle a^{11}-b^{11}\equiv (a-b)(a^{10}+a^{9}b+a^{8}b^{2}+a^{7}b^{3}+a^{6}b^{4}+a^{5}b^{5}+a^{4}b^{6}+a^{3}b^{7}+a^{2}b^{8}+ab^{9}+b^{10})\,\!}
a
12
−
b
12
≡
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
2
+
b
2
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
4
−
a
2
b
2
+
b
4
)
{\displaystyle a^{12}-b^{12}\equiv (a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4})\,\!}
a
13
−
b
13
≡
(
a
−
b
)
(
a
12
+
a
11
b
+
a
10
b
2
+
a
9
b
3
+
a
8
b
4
+
a
7
b
5
+
a
6
b
6
+
a
5
b
7
+
a
4
b
8
+
a
3
b
9
+
a
2
b
10
+
a
b
11
+
b
12
)
{\displaystyle a^{13}-b^{13}\equiv (a-b)(a^{12}+a^{11}b+a^{10}b^{2}+a^{9}b^{3}+a^{8}b^{4}+a^{7}b^{5}+a^{6}b^{6}+a^{5}b^{7}+a^{4}b^{8}+a^{3}b^{9}+a^{2}b^{10}+ab^{11}+b^{12})\,\!}
a
14
−
b
14
≡
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
6
+
a
5
b
+
a
4
b
2
+
a
3
b
3
+
a
2
b
4
+
a
b
5
+
b
6
)
(
a
6
−
a
5
b
+
a
4
b
2
−
a
3
b
3
+
a
2
b
4
−
a
b
5
+
b
6
)
{\displaystyle a^{14}-b^{14}\equiv (a+b)(a-b)(a^{6}+a^{5}b+a^{4}b^{2}+a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}+ab^{5}+b^{6})(a^{6}-a^{5}b+a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}-ab^{5}+b^{6})\,\!}
