線性無關

線性代數裡,向量空間的一組元素中,若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示,則稱為線性無關線性獨立linearly independent),反之稱為線性相關linearly dependent)。例如在三維歐幾里得空間R3的三個向量(1, 0, 0),(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1),(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關,因為第三個是前兩個的和。

線性代數
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣

定義

假設V是在K上的向量空間。如果 V的向量,若它們為線性相關,則在域K 中有非全零的元素 ,使得

 

或更簡略地表示成,

 

(注意右邊的零是V的零向量,不是K的零元素。)

如果K中不存在這樣的元素,那麼 線性無關

線性無關可以給出更直接的定義。向量 線性無關,若且唯若它們滿足以下條件:如果 K的元素,適合:

 

那麼對所有 都有 

V中的一個無限集,如果它任何一個有限子集都是線性無關,那麼原來的無限集也是線性無關。

線性相關性是線性代數的重要概念,因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間,而這組向量則是這向量空間的

相關性

  • 含有零向量的向量組,必定線性相關。
若有向量組 ,其中 ,則 
  • 含有兩個相等向量的向量組,必定線性相關。
若有向量組 ,其中 ,則 
  • 若一向量組相關,則加上任意個向量後,仍然線性相關;即局部線性相關,整體必線性相關。
  • 整體線性無關,局部必線性無關。
  • 向量個數大於向量維數,則此向量組線性相關。
  • 若一向量組線性無關,即使每一向量都在同一位置處增加一分量,仍然線性無關。
  • 若一向量組線性相關,即使每一向量都在同一位置處減去一分量,仍然線性相關。
  •  線性無關,而 線性相關,則 必可由 線性表示,且表示係數唯一。
  • 有向量組  ,其中 ,且 中每個向量都可由 線性表示,則向量組 必線性相關。即向量個數多的向量組,若可被向量個數少的向量組線性表示,則向量個數多的向量組必線性相關。
  • 若一向量組 可由向量組 線性表示,且 線性無關,則 。即線性無關的向量組,無法以向量個數較少的向量組線性表示。

例子1

V = Rn,考慮V內的以下元素:

 

e1e2、……、en是線性無關的。

證明

假設a1a2、……、anR中的元素,使得:

 

由於

 

因此對於{1, ..., n}內的所有i,都有ai = 0。

例子2

V是實變量t的所有函數向量空間。則V內的函數ete2t是線性無關的。

證明

假設ab是兩個實數,使得對於所有的t,都有:

aet + be2t = 0

我們需要證明a = 0且b = 0。我們把等式兩邊除以et(它不能是零),得:

bet = −a

也就是說,函數bett一定是獨立的,這只能在b = 0時出現。可推出a也一定是零。

例子3

R4內的以下向量是線性相關的。

 

證明

我們需要求出標量   ,使得:

 

可以形成以下的方程組

 

解這個方程組(例如使用高斯消元法),可得:

 

由於它們都是非平凡解,因此這些向量是線性相關的。

參考文獻