納什嵌入定理

納許嵌入定理(Nash embedding theorems)：，以約翰·福布斯·納什命名，指出每個黎曼流形可以等距嵌入到歐幾里得空間 Rⁿ。

「等距」表示「保持曲線長度」。因此，該結果表明每個黎曼流形可以看作是歐幾里得空間的子流形。第一個定理適用於 C¹-光滑嵌入，第二個用於解析或C^k, 3 ≤ k ≤ ∞的情形。兩個定理非常不同；第一個有很簡單的證明但有一些很違反直觀的結果，而第二個非常具有技術性但其結論比較不太出乎意料。

C¹定理發表於1954年，C^k定理發表於1956年。解析的情形則最先由納什於1966年處理，其中的論證後來在Greene & Jacobowitz (1971)中簡化了很多。（這個定理的一個局部版本由埃利·嘉當與Maurice Janet 在1920年代證出。）納什對C^k的證明後來發展成h-原則和納什–Moser隱函數定理。納什的第二個嵌入定理的一個簡化證明由Günther (1989)給出，方法是將納什的非線性偏微分方程組約化成橢圓系統，而壓縮映射定理能夠應用於後者。

納什-科伊伯定理(Nash-Kuiper theorem ,C¹嵌入定理)

定理 令$(M,g)$為一黎曼流形而$f:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$為一個短的$C^{\infty }$光滑嵌入（或浸入(immersion)）到歐幾里得空間$\mathbb {R} ^{n}$, $n\geq m+1$。（「短」表示縮短曲線長度。）則對於任意$\epsilon >0$存在嵌入(或浸入)$f_{\epsilon }:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$滿足

(i) $C^{1}$-光滑,

(ii) 等距， 也即對於在點$x\in M$的切空間任何兩個向量$v,w\in T_{x}(M)$，我們有$g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle$.

(iii) $\epsilon$-接近f, i.e. :$|f(x)-f_{\epsilon }(x)|<\epsilon$ 對於所有$x\in M$。

特別的是，因為它從惠特尼嵌入定理（Whitney embedding theorem）得出，任何m-維黎曼流形可以有一個等距$C^{1}$-嵌入到2m-維歐幾里得空間中的任意小的鄰域。定理最初由納什在條件$n\geq m+2$而不是$n\geq m+1$下證明，不過他提示了改進到$n\geq m+1$的方法，爾後被尼古拉·科伊伯(Nicolaas Kuiper)推廣到$n\geq m+1$。

定理有很多反直觀的推導結果。例如，可以得出任何閉可定向黎曼曲面可以$C^{1}$等距嵌入到在歐幾里得三維空間中的任意小球（對足夠小的ε，不存在這樣的等距$C^{2}$-嵌入，因為由高斯曲率的公式，這樣的嵌入的極點會有曲率≥ ε⁻²，違反絕妙定理所指出的等距$C^{2}$-嵌入保持高斯曲率不變）。

C^k嵌入定理

技術性的陳述如下: 若M為一給定m-維黎曼流形 (解析或屬於C^k類, 3 ≤ k ≤ ∞), 則存在n ($n=m^{2}+5m+3$ 就可以)和一個單射f : M -> Rⁿ (也是解析的或者屬於C^k類)使得對於M的所有點p，導數 df_p 是一個線性映射從切空間 T_pM 到Rⁿ，和給定在T_pM上的內積和Rⁿ的標準內積在如下意義下兼容:

< u, v > = df_p(u) · df_p(v)

對於T_pM中的所有向量u, v。 這是偏微分方程(PDE)的不定系統。

納什嵌入定理是全局系統，因為整個流形嵌入到了Rⁿ。局部嵌入定理要簡單得多，可以在流形的座標鄰域中用高等微積分的隱函數定理證明。這裡給出的全局嵌入定理的證明依賴於納什對隱函數定理的極大推廣版本，Nash-Moser定理和帶後處理(postconditioning)的牛頓法(見參考)。納什解決嵌入問題的基本思想是採用牛頓法來證明該PDE系統有解。標準的牛頓法應用於該系統時不收斂，所以納什利用光滑化算子來保證牛頓循環收斂。這個改變了的牛頓法成為帶後處理的牛頓法。平滑算子由卷積定義。該平滑算子保證了循環的趨向於一個根，使得它可以用來作為存在性定理。通過證明PDE系統存在一個根就證明了黎曼流形的等距嵌入的存在性。有一個更老的循環稱為Kantovorich循環，它是只用牛頓方法的存在性定理(所以不用平滑算子)。

參考文獻

• Greene, Robert E.; Jacobowitz, Howard, Analytic Isometric Embeddings, Annals of Mathematics, 1971, 93 (1): 189–204, JSTOR 1970760, MR 0283728, doi:10.2307/1970760 
• Günther, Matthias, Zum Einbettungssatz von J. Nash [On the embedding theorem of J. Nash], Mathematische Nachrichten, 1989, 144: 165–187, MR 1037168, doi:10.1002/mana.19891440113 （德語） 
• N.H.Kuiper: "On C¹-isometric imbeddings I", Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., 58 (1955), pp 545-556.
• John Nash: "C¹-isometric imbeddings", Annals of Mathematics, 60 (1954), pp 383-396.
• John Nash: "The imbedding problem for Riemannian manifolds", Annals of Mathematics, 63 (1956), pp 20-63.
• John Nash: "Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data" Annals of Mathematics, 84 (1966), pp 345-355.

外部連結

• Hevea Project: The Press Folder. （原始內容存檔於2012-06-18） （英語）. 描繪平坦環面等距C¹-嵌入到R³的圖像的計劃