艾森斯坦級數

在數學中，艾森斯坦級數是一類可直接表成級數的模形式，由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群，羅伯特·朗蘭茲也發展了相應的理論。

模群的艾森斯坦級數

固定整數 $k>1$。對上半平面上的複數 $\tau$，定義艾森斯坦級數 $G_{2k}$ 為

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.$

此級數是上半平面上的全純函數，此外它更是模群 $\Gamma :=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ 的權 $2k$ 模形式。換言之，若 $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ 滿足 $ad-bc=1$，則

$G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )$

遞迴關係

模形式理論中的一個基本事實是：模群 $\Gamma$ 的模形式俱可表為 $G_{4}$ 與 $G_{6}$ 的多項式。作為特例，以下說明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成 $G_{4},G_{6}$ 的多項式。

置 $d_{k}:=(2k+3)k!G_{2k+4}$，遂有下述關係式：

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}$

在此 ${n \choose k}$ 是二項式係數而 $d_{0}=3G_{4}$、$d_{1}=5G_{6}$。

函數 $d_{k}$ 可以表示魏爾斯特拉斯 $\wp$ 函數：

$\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}$

傅立葉展開

置 $q=e^{2\pi i\tau }$。由於艾森斯坦級數是模群的模形式，故有傅立葉展開式

$G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)$

其中的傅立葉係數 $c_{2k}$ 是

$c_{2k}={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}={\frac {-4k}{B_{2k}}}$。

此處的 $B_{n}$ 是伯努利數，$\zeta (z)$是黎曼ζ函數，而 $\sigma _{p}(n)$ 是 $n$ 的正因數的 $p$ 次冪和。

$G_{4}(\tau )={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left[1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right]$

$G_{6}(\tau )={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left[1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right]$

當 $|q|<1$，對 $q$ 之和亦可化成蘭伯特級數

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}$。

有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數：

$E_{2k}:={\frac {G_{2k}}{2\zeta (2k)}}=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}$。

拉馬努金公式

拉馬努金給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式：定義

$L(q)=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}=E_{2}(\tau )$

$M(q)=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{4}(\tau )$

$N(q)=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{6}(\tau )$

則有

$q{\frac {dL}{dq}}={\frac {L^{2}-M}{12}}$

$q{\frac {dM}{dq}}={\frac {LM-N}{3}}$

$q{\frac {dN}{dq}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}$

文獻

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
• Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3)
• Jean-Pierre Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.