莫雷拉定理

莫雷拉定理是一個用來判斷函數是否全純的定理。

如果f是一個連續的複值函數，定義在複平面上的開集D內，且對於所有D內的閉曲線C，都滿足

$\oint _{C}f(z)\,dz=0$

則f在D內是全純的。

莫雷拉定理的假設等於是說f在D內具有原函數。

該定理的逆命題不一定成立。全純函數在定義域內並不一定有原函數，除非加上更多條件。例如，柯西積分定理說明全純函數沿着一條閉曲線的路徑積分為零，只要函數的定義域是單連通的。

證明

莫雷拉定理有一個相對簡單的證明。不失一般性，我們可以假設D是連通的。固定D內的一個點a，並定義D內的一個複值函數F：

$F(b)=\int _{a}^{b}f(z)\,dz.\,$

這個積分可以是沿着D內從a到b的任何一條路徑。函數F是定義良好的，因為根據假設，f沿着從a到b的任何兩條曲線的積分一定是相等的。根據微積分基本定理，可知F的導數是f：

$F'(z)=f(z).\,$

特別地，函數F是全純的。則f也一定是全純的，因為它是全純函數的導數。

應用

一致極限

假設f₁, f₂, ...是一個全純函數的序列，在開圓盤內一致收斂於連續函數f。根據柯西積分定理，可知對每個n，順著任意圓盤內的閉曲線C，

$\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0$

而一致收斂則意指，對每個閉曲線C，

$\oint _{C}f(z)\,dz=\lim _{n\rightarrow \infty }\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0$

，因此根據莫雷拉定理，f　一定是全純函數。這個事實可以用來證明對每一個開集Ω ⊆ C，由所有有界解析函數u : Ω → C 所組成的集合A(Ω) 會是一個在最小上界範數下的複巴拿赫空間。

無窮級數和積分

莫雷拉定理可以用於證明由級數或積分所定義的函數的解析性，例如黎曼ζ函數：

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

或伽瑪函數：

$\Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx.$

參考文獻

• Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill, January 1, 1979, ISBN 978-0070006577 
• Conway, John B., Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, April 1, 2001, ISBN 978-3540903284 
• G. Morera, "Un teorema fondamentale nella teoria delle funzioni di una variabile complessa", Rend. del R. Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (2) 19 (1886) 304–307
• Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, May 1, 1986, ISBN 978-0070542341 

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Morera’s Theorem. MathWorld. 
• 莫雷拉定理的教程