貝爾性質
若一個拓樸空間的子集合有貝爾性質,或是一個幾乎開集,就表示這集合與開集之間的差為一個貧乏集;換句話說,若存在一個開集合使得為貧乏集(此處的為對稱差),那麼就說有貝爾性質。[1]
定義
若一個拓樸空間 的子集合 是一個有貝爾性質的幾乎開集,那就表示存在一個 使得 為貧乏集,此處的 為對稱差;此外[1]若 有限制意義下的貝爾性質的話,就表示說對於任意 的子集合 而言, 跟 的交集 相對於 有貝爾性質。[2]
性質
有貝爾性質的集合構成集族為一個σ-代數,也就是說,幾乎開集的補集也是幾乎開集,且任何可數多個幾乎開集的聯集或交集也是幾乎開集;[1]此外,由於空集合本身是貧乏集,因此所有的開集都是幾乎開集之故,因此所有的博雷爾集都是幾乎開集。
若一個波蘭空間的子集合有貝爾性質,那麼與其對應的巴拿赫-馬祖爾遊戲是決定的。此命題的逆命題一般不成立,然而若一個適當點類 中的所有遊戲都是決定的,那 中的每個集合都有貝爾性質,也就是說根據由足夠大的基數推導而出的射影決定性,波蘭空間中所有的射影集都有貝爾性質。[3]
利用選擇公理,可知一些實數的子集不具貝爾性質,一個沒有貝爾性質的實數子集的具體的例子是維塔利集合。[4]實際上選擇公理就已足以證明這點:根據布爾素理想定理,自然數集合上存在有一個非主理想超濾子,而每一個有如此性質的超濾子,都可在以二進制表示實數的狀況下,用以導出一個沒有貝爾性質的實數集。[5]
參見
參考資料
- ^ 1.0 1.1 1.2 Oxtoby, John C., 4. The Property of Baire, Measure and Category, Graduate Texts in Mathematics 2 2nd, Springer-Verlag: 19–21, 1980, ISBN 978-0-387-90508-2.
- ^ Kuratowski, Kazimierz, Topology. Vol. 1, Academic Press and Polish Scientific Publishers, 1966.
- ^ Becker, Howard; Kechris, Alexander S., The descriptive set theory of Polish group actions, London Mathematical Society Lecture Note Series 232, Cambridge University Press, Cambridge: 69, 1996, ISBN 0-521-57605-9, MR 1425877, doi:10.1017/CBO9780511735264.
- ^ Oxtoby (1980), p. 22.
- ^ Blass, Andreas, Ultrafilters and set theory, Ultrafilters across mathematics, Contemporary Mathematics 530, Providence, RI: American Mathematical Society: 49–71, 2010, MR 2757533, doi:10.1090/conm/530/10440,可見第64頁的說明。