阿達馬不等式

數學中的阿達馬不等式給出一個基於n維複矩陣行向量的行列式值上界。當僅套用於實數時，其可以在歐幾里得空間中，由n支向量$\mathbf {v} _{1}$, $\mathbf {v} _{2}$, $\ldots \mathbf {v} _{n}$標出的體積。'

這不等式的幾何意義是當向量為正交集時體積最大。這結果相對於標量乘法齊次，所以只需證明單位向量$\mathbf {e} _{1}$, $\mathbf {e} _{2}$, $\ldots \mathbf {e} _{n}$的結果。在這情況，不等式指出：若$\mathbf {M}$是以$\mathbf {e} _{i}$為列向量的n× n 矩陣，則

$|\det(\mathbf {M} )|\leq 1$。

因此，向量$\mathbf {v} _{i}$的相應結果是

$|\det(\mathbf {A} )|\leq \prod \|\mathbf {v} _{i}\|$，

其中$\mathbf {A}$是以$\mathbf {v} _{i}$為列向量的矩陣，而$\|\mathbf {v} _{i}\|$是$\mathbf {v} _{i}$的歐幾里得範數（長度）。（就是說若$\mathbf {v} _{i}$$=(x_{k})_{k=1}^{n}$，則

$\|\mathbf {v} _{i}\|$$={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}}$。）

在組合數學中，使等式成立以及列向量$\mathbf {v} _{i}$的元素為+1和−1的矩陣是研究對象，它們稱為阿達馬矩陣。

外部連結

• 科學空間：體積與阿達馬不等式 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）