隆起函數

數學中，一個歐幾里得空間${\mathbb {R} }^{n}$上的隆起函數$f:{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathbb {R} }$是一個僅在某「一小塊區域」上取值不為零的光滑函數。它在${\mathbb {R} }^{n}$絕大部分區域取值都是0，僅僅在某個緊區域上有非零值。${\mathbb {R} }^{n}$所有的隆起函數的構成一個函數空間，記作$C_{0}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n})$或$C_{c}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n})$。在適當拓撲結構中，它的對偶空間是分布空間（見分布理論）。

一個二維的隆起函數

特點及應用

根據唯一性定理，雖然隆起函數都是光滑的，但除非它們在D上取值一致為0，否之它們都不是解析函數。隆起函數經常被用作柔化函數，光滑隔斷函數（smooth cutoff function），以及用於1的分割（partition of unity）。在數學分析中，隆起函數是最常見的檢驗函數。檢驗函數空間在很多算子下是閉合的；任意兩個隆起函數的和，積，以及卷積都是隆起函數。若一個微分算子的係數是光滑的，那麼兩個隆起函數在這個微分算子下的計算結果也是隆起函數。