雙射記數

雙射記數系統（Bijective numeration）是一種表示數字的位置數值系統，每個非負整數都可使用有限數字串表示。該名稱「雙射」指的是非負整數集和用有限符號集的有限字符串集間存在雙射（即一一對應）。

大多數數字系統，例如十進制，都不是雙射的；因為不止一串數字可以表示同一個正整數：添加前導零（英語：leading zero）不會改變表示的值，例如「1」、「01」、「001」都表示數字「1」。而一進制因為只有一個數字「1」所以必然「是」雙射的。

雙射進制-k記數系統是一個雙射進位制。使用集合{1, 2, ..., k}（其中k≥1）編碼正整數；值的位置定義為「k」的冪倍數。Smullyan (1961)稱此為k-adic：用有限非零數字串表示普通整數的系統，而p-adic數是包含整數作為子集的一個數學值系統，並且可能需要無限數字序列表示。

定義

雙射進位制使用集合{1, 2, ..., k}（其中k≥ 1）來唯一編碼每個非負整數：

零由空字符串表示。
由非空數字串表示的整數

a n a n -1 ... a 1 a 0

=

a n k n + a n -1 k n -1 + ... + a 1 k 1 + a 0 k 0

.

表示整數的數字串m>0是 $a n a n -1 ... a 1 a 0$

當

{\begin{aligned}a_{0}&=m-q_{0}k,&q_{0}&=f\left({\frac {m}{k}}\right)&\\a_{1}&=q_{0}-q_{1}k,&q_{1}&=f\left({\frac {q_{0}}{k}}\right)&\\a_{2}&=q_{1}-q_{2}k,&q_{2}&=f\left({\frac {q_{1}}{k}}\right)&\\&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\a_{n}&=q_{n-1}-0k,&q_{n}&=f\left({\frac {q_{n-1}}{k}}\right)=0\end{aligned}}

且

f(x)=\lceil x\rceil -1,

\lceil x\rceil

是不小於的最小整數x（上取整函數）

相反，標準進位制可用類似遞歸算法定義當

f(x)=\lfloor x\rfloor ,

擴展到整數

已隱藏部分未翻譯內容，歡迎參與翻譯。

在 $k>1$ 進制, the bijective base- $k$ numeration system could be extended to negative integers in the same way as the standard base- $b$ numeral system by use of an infinite number of the digit $d_{k-1}$ , where $f(d_{k-1})=k-1$ , represented as a left-infinite sequence of digits $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ . This is because the Euler summation

g({\overline {d_{k-1}}})=\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=-{\frac {k-1}{k-1}}=-1

meaning that

g({\overline {d_{k-1}}}d_{k})=f(d_{k})\sum _{i=1}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=1+\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=0

and for every positive number $n$ with bijective numeration digit representation $d$ is represented by ${\overline {d_{k-1}}}d_{k}d$ . For base $k>2$ , negative numbers $n<-1$ are represented by ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ with $i<k-1$ , while for base $k=2$ , negative numbers $n<-1$ are represented by ${\overline {d_{k}}}d$ . This is similar to how in signed-digit representations, all integers $n$ with digit representations $d$ are represented as ${\overline {d_{0}}}d$ where $f(d_{0})=0$ . This representation is no longer bijective, as the entire set of left-infinite sequences of digits is used to represent the $k$ -adic integers, of which the integers are only a subset.

性質

對於 $k\geq 2$ 進制：

表示非負整數n的雙射k進位位數是 $\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ ^[1]，與 $\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$ 相比，k進制如果是「1」，位數就是n。
最小可表示為長度 $l\geq 0$ 的雙射k進制數字的非負整數是 $min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}$ 。
最大可表示為長度 $l\geq 0$ 的雙射k進制數字的非負整數是 $max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}$ ，相當於 $max(l)=k\times min(l)$ 或 $max(l)=min(l+1)-1$ 。
非負整數n的雙射k進制可和普通進制k相同，當且僅當普通進制不含數字「0」，或者等效地，雙射進制既不是空字符串也不包含數字k。

對於進制 $k\geq 1$ ，

會有 $k^{l}$ 個雙射進制，長度為 $l\geq 0$ 的k。^[2]
雙射進制k的列表.。用λ表示空串，1、2、3、8、10、12、16為底的數如下（這裡列出普通的表示方式以供比較）：

雙射一進制	`λ`	`1`	`11`	`111`	`1111`	`11111`	`111111`	`1111111`	`11111111`	`111111111`	`1111111111`	`11111111111`	`111111111111`	`1111111111111`	`11111111111111`	`111111111111111`	`1111111111111111`	`...`
雙射二進制	`λ`	`1`	`2`	`11`	`12`	`21`	`22`	`111`	`112`	`121`	`122`	`211`	`212`	`221`	`222`	`1111`	`1112`	`...`
二進制	`0`	`1`	`10`	`11`	`100`	`101`	`110`	`111`	`1000`	`1001`	`1010`	`1011`	`1100`	`1101`	`1110`	`1111`	`10000`	`...`
雙射三進制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`11`	`12`	`13`	`21`	`22`	`23`	`31`	`32`	`33`	`111`	`112`	`113`	`121`	`...`
三進制	`0`	`1`	`2`	`10`	`11`	`12`	`20`	`21`	`22`	`100`	`101`	`102`	`110`	`111`	`112`	`120`	`121`	`...`
雙射八進制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`17`	`18`	`...`
八進制	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`17`	`20`	`...`
雙射十進制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`...`
十進制	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`...`
雙射十二進制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`11`	`12`	`13`	`14`	`...`
十二進制	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`...`
雙射十六進制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`D`	`E`	`F`	`G`	`...`
十六進制	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`D`	`E`	`F`	`10`	`...`

例

雙射五進制的34152 = 3×5⁴ + 4×5³ + 1×5² + 5×5¹ + 2×1 = 2427（十進制）
雙射十進制119A（A代表數值10） = 1×10³ + 1×10² + 9×10¹ + 10×1 = 1200（十進制）
- 雙射11進制B = 11（十進制）
- 雙射35進制Z = 35（十進制）

雙射十進制

雙射十進制系統是一種以 10 為底的位置數字系統，不使用數字來表示零，而用一個數字代表十，例如 A。

與傳統的十進制一樣，每個數字位置代表十的冪，因此例如 123 是「一百，加上兩個十，加上三個一」。所有在傳統十進制中僅用非零數字表示的正整數（例如 123）在不帶零的十進制中具有相同的表示形式。使用零的必須重寫，例如10變為A，常規20變為1A，常規100變為9A，常規101變為A1，常規302變為2A2，常規1000變為99A，常規1110變為AAA，常規2010變為19AA ，等等。

不帶零的十進制的加法和乘法本質上與傳統十進制相同，只是當位置超過十時而不是超過九時發生進位。因此，要計算 643 + 759，有十二個個位（在右邊寫 2，十位進位 1）、十個十（記為 A，不需要進位到百位）、十三個百（在右邊寫 3，進位 1）、和一個千（寫 1），得到結果 13A2 而不是傳統的 1402。

雙射二十六進制

在雙射二十六進制系統中，可以使用拉丁字母A到Z來表示1到26。（A=1，B=2，C=3，...，Z=26）

通過選擇這種表示法，數字序列（從 1 開始）開始為 A、B、C、...、X、Y、Z、AA、AB、AC、...、AX、AY、AZ、BA、BB、BC，...

每個數字位置代表二十六的冪，例如數字 ABC 代表十進制的 1 × 26² + 2 × 26¹ + 3 × 26⁰ = 731。

許多電子表格（包括 Microsoft Excel）使用此系統為電子表格的列分配標籤，如 A、B、C、...、Z、AA、AB、...、AZ、BA、...、ZZ、AAA 。在 Excel 2013 中，最多可以有 16384（2¹⁴）列，從 A 到 XFD。^[3] 該系統的一個變體用於命名變星。^[4] 它可以應用於任何需要使用字母進行系統命名的問題，同時使字符串儘可能短。

歷史

每個非負整數在雙射 k (k ≥ 1) 進制中都有唯一的表示，這一事實是一個已被多次重新發現的「民間定理」。早期的例子是 Foster (1947) （對於 k = 10），以及 Smullyan (1961) 和 Böhm (1964) （對於所有 k ≥ 1）。Smullyan 使用該系統提供邏輯系統中符號串的哥德爾編號； Böhm 使用這些表示以編程語言 P′′ 執行計算。Knuth (1969) 提到了 k = 10 的特殊情況，Salomaa (1973) 討論了 k ≥ 2 的情況。Forslund (1995) 似乎是另一個重新發現，並提出假設說如果古代計數系統使用雙射 k 進制，可能由於人們普遍不熟悉這一系統，導致考古文獻中並未發現這一點。

注釋

^ How many digits are in the bijective base-k numeral for n?. Stackexchange. [22 September 2018].
^ Forslund (1995).
^ Harvey, Greg, Excel 2013 For Dummies, John Wiley & Sons, 2013, ISBN 9781118550007 .
^ Hellier, Coel, Appendix D: Variable star nomenclature, Cataclysmic Variable Stars - How and Why They Vary, Praxis Books in Astronomy and Space, Springer: 197, 2001, ISBN 9781852332112 .

參考

Böhm, C., On a family of Turing machines and the related programming language, ICC Bulletin, July 1964, 3: 191 .
Forslund, Robert R., A logical alternative to the existing positional number system, Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, 1995, 1: 27–29, MR 1386376, S2CID 19010664 .
Foster, J. E., A number system without a zero symbol, Mathematics Magazine, 1947, 21 (1): 39–41, JSTOR 3029479, doi:10.2307/3029479 .
Knuth, D. E., The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms 1st, Addison-Wesley, Solution to Exercise 4.1-24, p. 195, 1969 . (Discusses bijective base-10.)
Salomaa, A., Formal Languages, Academic Press, Note 9.1, pp. 90–91, 1973 . (Discusses bijective base-k for all k ≥ 2.)
Smullyan, R., 9. Lexicographical ordering; n-adic representation of integers, Theory of Formal Systems, Annals of Mathematics Studies 47, Princeton University Press: 34–36, 1961 .

[1] How many digits are in the bijective base-k numeral for n?. Stackexchange. [22 September 2018].

[FOOTNOTEForslund1995-2] Forslund (1995).

[3] Harvey, Greg, Excel 2013 For Dummies, John Wiley & Sons, 2013, ISBN 9781118550007 .

[4] Hellier, Coel, Appendix D: Variable star nomenclature, Cataclysmic Variable Stars - How and Why They Vary, Praxis Books in Astronomy and Space, Springer: 197, 2001, ISBN 9781852332112 .

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