同調論代數餘鏈中,餘調表示由與拓樸空間相關的阿貝爾群組成的序列,經常由餘鏈復形定義。餘調可以被視為給予空間(比同調)更豐富的代數不變量的方式。某些餘調是將同調的建構對偶化產生的。換言之,餘鏈是同調論中鏈群上的函數。 這個概念一開始是在拓撲學中,到20世紀後半變成數學的一個主要方法。從原先將同調作為建構拓樸空間的代數不變量的方法,現今同調與餘調理論的應用已遍布幾何與代數。餘調是個反變的理論,而在很多應用中比同調更自然,但術語使上述事實變得不明顯。基礎地看,這與幾何的情況中的函數與拉回有關:給定空間 X、Y 、 Y 上的某種函數 F ,對任何映射 f : X → Y ,與 f 的複合會產生在 X 上的函數 F ∘ f 。最重要的一些餘調論有一種積,稱為杯積,使其具有的結構。所以,餘調常是比同調更強的不變量。

廣義上的同調理論(其他代數或幾何結構的不變式,而不是拓撲空間的不變式)包括:代數K理論,李代數同調,晶體同調等。

奇異上同調

奇異上同調是拓撲學中一個強大的不變量,將分次交換環同任意拓撲空間聯繫起來。每個連續映射 都決定了從Y的上同調環到X的上同調環的同態,這對XY的可能映射施加了強有力的限制。上同調環不同於同倫群等更微妙的不變式,對於感興趣的空間來說,實際上往往是可以計算的。

對拓撲空間X,奇異上同調的定義始於奇異鏈復形:[1]:108   由定義,X奇異同調是這鏈復形的同調(一個同態的核對前一個的像取模)。更詳細地說, 是從標準i單純形到X(稱作「X中的奇異i單形(simplice)」)的連續映射集的自由阿貝爾群 是第i個邊界同態。i為負數時,群 為零。

現固定一個阿貝爾群A,把每個群Ci換成其對偶群 ;把 換成對偶同態  

這會把原復形的「所有箭頭都逆轉」,留下上鏈復形  

對任意整數iX的第i個係數在A中的上同調群定義為 記作 i為負數時,群為零。 的元素稱作奇異i上鏈,係數在A中。(等價地,X上的i上鏈可從X中到A的奇異i單形集函數中辨別出來)ker(d)、im(d)中的元素分別稱作上循環上邊界(coboundary), 的元素則稱作上同調類(因為是上循環的等價類)。

下文時而省略係數群A不寫。通常取A交換環R,則上同調群為R。標準的選擇是整數環Z

上同調的一些形式性質與同調基本一致:

  • 連續映射 決定了同調上的前推同態 與上同調上的拉回同態 ,這使上同調成為從拓撲空間到阿貝爾群(或R模)的反變函子
  • XY的兩個同倫映射會在上同調引起相同的同態(如在同調上)。
  • 邁爾–維托里斯正合列是同調與上同調中重要的計算工具。注意邊界同態增加(而非減少)了上同調的度;即,若空間X開子集UV的交,則有長正合序列 
  • 對空間X的任意子空間Y,有相關上同調 由長正合序列與通常的上同調群相關聯: 
  • 泛係數定理Ext群描述了上同調,即有短正合序列 相關的說法是,對F 正是向量空間 對偶空間
  • X是拓撲流形CW復形,則對大於X的維度的i,上同調群 為零。[2]X流形(可能有界),或是在每個維度都有有限多單元的CW復形,且R是交換諾特環,則R 對每個i都是有限生成模[3]

另一方面,上同調有同調沒有的重要結構:對任意拓撲空間X與交換環R,有稱作上積雙線性映射  從奇異上鏈的明確公式定義。上同調類uv的積寫作uv或只是uv,這個積使得直和   變為分次環,稱作X上同調環,在如下意義上是分次交換環[4]  

對任意連續映射 拉回 是分次R代數的同態。可見,若兩空間同倫等價,則它們的上同調環就同構。

下面是上積的一些幾何解釋。除非另有說明,否則默認流形無界。閉流形是(不含邊界)緊流形,而流形M閉子流形NM閉子集的子流形,不必是緊流形(不過,若M緊,則N必緊)。

  • Xn維閉有向流形,則龐加萊對偶性給出同構 。於是,X余維度i的閉有向子流形決定了 中的上同調類,稱作 在這些術語中,上積描述了子流形的相交:若ST是余維度為ij的子流形,並橫截地相交,則 當中的交ST是余維度為i+j的子流形,方向由STX的方向確定。在光滑流形的情形下,若ST不橫截着相交,則這公式仍可計算上積 ,方法是擾動ST使其橫截相交。
    更一般地,X不需有向,其閉子流形與法叢上的方向決定了X上的一個上同調類。若X是非緊流形,則閉子流形(不需是緊的)決定了X上的上同調類。兩種情形下,上積仍可用子流形之交來描述。
    注意勒內·托姆在光滑14維流形上構造了度為7的積分上同調類,不是任何光滑子流形的類。[5]:62–63另一方面,他證明了光滑流形上所有度為正的積分上同調類都有正倍數,其是光滑子流形的類。[5]:定理II.29而且,流形上的所有積分上同調類都可用「偽流形」(即單純形,在余維度至少為2的閉子集之外是流形)表示。
  • 對光滑流形X德拉姆定理表明,具有係數的X的奇異上同調與X的德拉姆上同調同構,由微分形式定義。上積對應微分形式的積。這解釋的優點在於微分形式的積是分次交換的,而奇異上鏈的積只在鏈同倫意義上分次交換。事實上,對係數在整數  p為使積在鼻上分次交換的素數)中的奇異上鏈,無法修改其定義。上鏈層面上分次交換性失效,導致了模p上同調上的斯廷羅德運算

非常不正式地說,對任意拓撲空間X 的元素都可認為是可在X上自由移動的余維度為i的子空間。舉例來說,定義元素的一種方法是給出從X到流形M的連續映射f,以及M的余維度為i的閉子流形N,且在法叢上有向。形式上說,可將結果類 視為位於X的子空間 上;這是合理的,因為類 在開子集 的上同調中限制為零。上同調類 可在X上自由移動,即N可被MN的任意連續變形所代替。

例子

下面默認上同調係數為整數。

  • 點的上同調環是度為0的環Z。根據同倫不變性,這也是任何可緊空間的上同調環,如歐氏空間Rn
  •  
    2維環面的第一上同調群的基由所示兩個圓的類給出。
    對正整數nN維球面 的上同調環是 多項式環對給定理想商環),x的度為n。根據上述龐加萊對偶性,x是球面上一點的類。
  • 環面 的上同調環是度為1的n個生成器上的Z外代數[6]例如,令P表示圓 中的點,Q為2維環面 中的點(P,P)。則, 的上同調有如下形式的自由Z基:度為0的元素1、度為1的  、度為2的 (此處隱含地固定了環面和兩個圓的方向)注意由分次交換性可知, 
  • 更一般地,令R為交換環、令XY為使 為所有度都是有限生成自由R模的任意拓撲空間(Y不需要假設)。則據克奈定理積空間 的上同調環是R代數的張量積:[1]:定理3.15  
  • 實射影空間 的上同調環(係數位於 )是 x的度為1。[1]:定理3.19當中x 中的超平面 的類,即使 j為正偶數)無向也成立,因為 係數的龐加萊對偶性適於任意流形。
    若係數是整數,就比較複雜了。 Z上同調具有度為2的元素y,使整個上同調是度為0的元素1張成的Z 張成的Z/2的直和。 Z上同調也如此,只是多了一份度為2a+1的Z[1]:22
  • 復射影空間 的上同調環是 ,其中x的度為2。[1]:定理3.19x 中超平面 的類;更一般地說,  中線性子空間 的類。
  • 虧格g ≥ 0的閉有向面X的上同調環有如下形式的自由Z模的基:度為0的元素1、度為1的  、度為2的點的類P。積由下面的定義給出: [7]由分次交換性,可知有BiAi = −P
  • 在任意拓撲空間上,上同調環的分次交換性都表明,對任意度為奇的上同調類x都有 因此,對包含1/2的環R 中所有度為奇的元素的平方都是零。另一方面,若R  ,則度為奇的元素不必有平方零,正如例子 (係數 )或 (係數 )。

對角

上積可視作來自對角映射 也就是說,對於具有上同調類 的任意空間XY,有外積(或叉積)上同調類  的上積可定義為外積的對角線拉回:[1]:186  

另外,外積也可用上積定義。對空間XY,將兩投影分別寫作 ,則 兩類的外積就是  

龐加萊對偶性

龐加萊對偶性的另一種解釋是,閉有向流形的上同調環在強意義上是自對偶的。也就是說,令Xn維閉有向流形,F為域。則 同構於F,積

 

對每個整數i完美配對[8]特別地,向量空間 具有相同的(有限)維度。同樣,積分上同調模、在 中取值的積是Z上的完美配對。

示性類

拓撲空間X上秩為r的有向實向量叢E決定了X上的上同調類,即歐拉類 χ。非正式地說,歐拉類是E的一般截面的零集類。E若是光滑流形X上的光滑向量叢E,這種解釋會更明確,因為此時X的一般光滑截面會在Xr余維子流形上歸於零。

在上同調取值的向量叢還有其他幾種示性類,如陳類施蒂費爾–惠特尼類龐特里亞金類等。

艾倫伯格–麥克蘭恩空間

對任意阿貝爾群A與自然數j,有空間 ,其第j個同倫群同構於A,其他同倫群均為零。這樣的空間叫做艾倫伯格–麥克蘭恩空間,對上同調是分類空間:有 的自然元素u,每個空間X上每個度為j的上同調類都是u對某連續映射 的拉回。更確切地說,類u的拉回對每個具有CW復形上同調類型的空間X給出了雙射[9]:177

 

當中 表示XY的連續映射的同倫類集合。

例如,空間 (同倫等價意義上)可看作是圓 ,所以上面的描述說, 的每個元素都是通過某映射  是哪個一點的類u拉回的。

對係數在任意阿貝爾群A(如CW復形X)中的第一上同調,都有相關的描述: 與具有群AX的伽羅瓦覆疊空間的同構類集(也稱為X上的A)一一對應。對連通的X 同構於 ,曲線 X基本群。例如, 分類了X的雙覆疊空間,元素 對應平凡雙覆疊,即兩個X的不交並。

下積

對任意拓撲空間X、任意整數ij、任意交換環R下積是雙線性映射

 

得到映射

 

使X的奇異上同調成為X的奇異上同調環上的模。

 時,下積給出了自然同態

 

其是R域的同構。

例如,令X是有向流形,不必是緊的。則其餘維為i的閉有向子流形Y(不必緊)確定了 中的一個元素,X的緊有向j維子流形Z確定了 中的一個元素。下積 可通過擾動YZ使其橫截相交,再取交集的類(即j-i維緊有向子流形)進行計算。

n維閉有向子流形X 中具有基本類 。龐加萊對偶同構   可通過與X的基本類的下積定義。

奇異上同調簡史

上同調是現代代數拓撲的基礎,但在同調論發展了40餘年後,人們才意識到其重要性。亨利·龐加萊證明龐加萊對偶定理用的「對偶單元結構」概念即是上同調思想的雛形,但後來才被發現。

 

這與M的上同調的上積很相似。

層上同調

層上同調是奇異上同調的豐富推廣,允許更一般的係數,而不限於阿貝爾群。對拓撲空間X上任意的阿貝爾群,有上同調群 i為整數)。特別地,X上的常層與阿貝爾群A相關聯的情形下,所得的群 X的奇異上同調(流形或CW復形)重合(並非對任意X都成立)。20世紀50年代開始,層上同調成為了代數幾何複分析的核心部分,部分原因是正則函數層或全純函數層的重要性。

亞歷山大·格羅滕迪克同調代數優雅地定義、描述了層上同調。其要點在於固定空間X,並將層上同調視作從X上的阿貝爾範疇層到阿貝爾群的函子。首先,取從X上的層E到其在X上的非局部截面的阿貝爾群的函子,即E(X),它是左正合函子,而不必右正合。格羅滕迪克定義層上同調群為左正合函子 的右導出函子[11]

這定義可以有很多推廣。例如,可定義拓撲空間X的上同調,其係數可以在層的任意復形中,早先稱作超上同調(現在則只叫做「上同調」)。從這角度來看,層上同調成了從X上的層導出範疇到阿貝爾群的函子序列。

更廣義地講,「上同調」常用作阿貝爾範疇上的左正合函子的右導出函子,而「同調」則是右正合函子的左導出函子。例如,對於環RTor群 在每個簇形成「同調」,即R模的張量積 的左導出函子。同樣,Ext群 可視作是每個簇中的「上同調」,c即Hom函子 的右導出函子。

層上同調與一種Ext群相關:對拓撲空間X上的層E 同構於 ,當中 表示與整數Z相關聯的常層,Ext取X上的層的阿貝爾範疇。

簇的上同調

有很多構造可計算代數簇的上同調。最簡單的情形是確定 特徵域上光滑射影簇的上同調。霍奇理論有叫做霍奇結構的工具,有助於計算這些簇類的上同調(增加了更精細的信息)。最簡單的情形下, 中的光滑超平面的上同調可僅根據多項式的度確定。

考慮有限或特徵為 的域上的簇,需要更有力的工具,因為同調/上同調的經典定義被打破了:有限域上的簇只能是有限點集。格羅滕迪克提出了運用格羅滕迪克拓撲的想法,並用平展拓撲上的層上同調定義有限域上的簇的上同調論。利用特徵 域上的簇的平展拓撲,可構造 進上同調( ):

 

若有有限類型的概形

 

則只要簇在兩個域上都光滑, 的貝蒂上同調和  進上同調的維度就相等。此外,還有韋爾上同調論,與奇異上同調的行為類似。有一種猜想,其理論動機是所有韋爾上同調論的基礎。

另一個有用的計算工具是爆破序列(blowup sequence)。給定余維度 的子概形 ,有笛卡兒平方

 

由此,有相關的長正合序列

 

若子簇 光滑,則連通態射均平凡,因此

 

此外,利用法叢 的陳類,爆破的上同調環很容易計算,公式為

 

公理與廣義上同調論

拓撲空間的上同調有多種定義(如奇異上同調、切赫上同調亞歷山大–斯潘尼爾上同調層上同調)(此處層上同調只考慮係數在常層中)。這些理論對某些空間給出了不同結果,但對一大類空間都是一致的,這從公理上最容易理解:有一系列屬性稱作艾倫伯格-斯廷羅德公理,任意兩個滿足其的構造至少在所有CW復形上都一致。[9]:95同調論和上同調論都有公理版本。有些理論可作為計算特殊拓撲空間的奇異上同調的工具,如單純復形的單純上同調、CW復形的胞腔上同調、光滑流形的德拉姆上同調

上同調論的艾倫伯格-斯廷羅德公理之一是維度公理:若P是單點,則 1960年左右,George W. Whitehead發現,完全省略維度公理很有意義:這就產生了廣義(上)同調論(定義如下)。K理論或復配邊之類的廣義上同調論,提供了拓撲空間的豐富信息,且是奇異上同調無法直接提供的(這時,奇異上同調通常叫做「普通上同調」)。

由定義,廣義同調論是從CW-拓撲對範疇 (於是X是CW復形,A是子復形)到阿貝爾群範疇的函子序列 i是整數),以及自然變換 ,稱作邊界同態(其中  的簡寫)。公理如下:

  1. 同倫:若 同倫於 ,則同調上的誘導同態相同。
  2. 正合性:由結論f: AXg: (X,∅) → (X,A),每對(X,A)都在同調上誘導了長正合序列: 
  3. 切除:若X是子復形AB的並,則對每個i,包含 會誘導同構 
  4. 可加性:若(X,A)是一組對 的不交並,則對每個i,包含 會誘導從直積出發的同構: 

廣義上同調論的公理大致是通過翻轉箭頭得到的。更詳細地說,廣義上同調論是一系列從CW-拓撲對範疇到阿貝爾群範疇的反變函子序列 i是整數),及自然變換d: hi(A) → hi+1(X,A),稱作邊界同態 (其中 表示 。公理如下:

  1. 同倫:同倫映射在上同調誘導相同的同態。
  2. 正合性:由結論f: AXg: (X,∅) → (X,A),每對(X,A)都在上同調上誘導了長正合序列: 
  3. 切除:若X是子復形AB的並,則對每個i,包含 會誘導同構 
  4. 可加性:若(X,A)是一組對 的不交並,則對每個i,包含 會誘導到達積群的同構: 

決定了廣義(上)同調論。Brown、Whitehead、Adams得到的一個基本結果是:所有廣義同調論都來自一個譜,所有廣義上同調論也來自一個譜。[12]這推廣了艾倫伯格–麥克蘭恩空間對普通上同調的可表性。

一個微妙問題是,從穩定同調範疇(譜的同倫範疇)到CW-拓撲對上的廣義同調論的函子,雖然給出了同構類上的雙射,但是不等價;在穩定同倫範疇中,有非零映射(即幻影映射英語phantom map),其誘導了CW-拓撲對上同倫論間的零映射。同樣,從穩定同倫範疇到XW-拓撲對上的廣義上同調論的函子也不等價。[13]正是穩定同倫範疇具有三角化之類良好性質。

要將(上)同調論的定義域從CW復形推廣到任意拓撲空間,一種標準方法是加入公理:所有弱同倫等價都會在(上)同調誘導一個同構(對奇異(上)同調是正確的,但層上同調等則不然)。由於每個空間都可從CW復形得到弱同倫等價,這公理將所有空間的(上)同調論還原為CW復形的相應理論。[14]

廣義上同調論的一些例子:

  • 穩定上同倫群 相應的同調論更常用:穩定同倫群 
  • 各種配邊群,從空間到流形的所有映射的角度研究空間:無向配邊 有向配邊 復配邊 等等。復配邊在同倫論中尤為強大,經由丹尼爾·奎倫的定理,同形式群密切相關。
  • 拓撲K理論的各種形式,從空間上所有向量叢的角度研究空間: (實周期K理論)、 (實連通K理論)、 (復周期K理論)、 (復連通K理論),等等。
  • 布朗-彼得森上同調莫拉瓦K理論、莫拉瓦E理論等等由復配邊建立的理論。
  • 各種橢圓上同調

其中許多理論比普通上同調的信息更豐富,但更難計算。

上同調論E若滿足 對每個空間X都具有分次環的結構,則稱E具有乘性。用譜的語言來說,有幾個更精確的環譜概念,如E環譜,其中的積在很強的意義上是交換、結合的。

另見

腳註

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Hatcher 2001.
  2. ^ Hatcher 2001,Theorem 3.5; Dold 1972,Proposition VIII.3.3 and Corollary VIII.3.4.
  3. ^ Dold 1972,Propositions IV.8.12 and V.4.11.
  4. ^ Hatcher 2001,Theorem 3.11.
  5. ^ 5.0 5.1 Thom 1954.
  6. ^ Hatcher 2001,Example 3.16.
  7. ^ Hatcher 2001,Example 3.7.
  8. ^ Hatcher 2001,Proposition 3.38.
  9. ^ 9.0 9.1 May 1999.
  10. ^ Dieudonné 1989,Section IV.3.
  11. ^ Hartshorne 1977,Section III.2.
  12. ^ Switzer 1975,第117, 331頁,Theorem 9.27; Corollary 14.36; Remarks.
  13. ^ Are spectra really the same as cohomology theories?. MathOverflow. 
  14. ^ Switzer 1975,7.68.

參考文獻