高斯散度定理

此條目的主題是微積分學中的一種向量分析。關於電磁學中與電通量有關的定理，請見「高斯定律」。

高斯公式（Gauss's law），又稱為高斯通量理論（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奧斯特羅格拉德斯基公式或高－奧公式，是指在向量分析中，一個把向量場通過閉合曲面的流動（即通量）與曲面內部的向量場的表現聯繫起來的定理。該定理與斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中兩大重要定理。

更加精確地說，高斯公式說明向量場穿過曲面的通量，等於散度在曲面圍起來的體積上的積分。直觀地，所有源點的和減去所有匯點的和，就是流出這區域的淨流量。

高斯公式在工程數學中是一個很重要的結果，特別是靜電學和流體力學。

在物理和工程中，散度定理通常運用在三維空間中。然而，它可以推廣到任意維數。在一維，它等價於分部積分法。

定理

區域V，以帶有法線n的面S = ∂V為邊界。

散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面；散度定理不可以用來計算穿過具有邊界的曲面，例如，任何右邊的曲面。在這圖內，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。

設空間閉區域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍起來的三維區域，函數$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$在$\Omega$上具有一階連續偏導數，則有

$\iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=$$\oiint$$\scriptstyle \Sigma$$P\,\mathrm {d} y\land \mathrm {d} z+Q\,\mathrm {d} z\land \mathrm {d} x+R\,\mathrm {d} x\land \mathrm {d} y$

或

$\iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=$$\oiint$$\scriptstyle \Sigma$$(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,\mathrm {d} S$

這裡$\Sigma$是$\Omega$的邊界（boundary），$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$是$\Sigma$在點$(x,y,z)$處的單位法向量的方向餘弦。

這兩個公式都叫做高斯公式，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 $\iint _{\Sigma }(P,Q,R)\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S$，其中 $\mathbf {n}$ 是曲面 $\Sigma$ 的向外單位法向量。

這個定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

用散度表示

高斯公式用散度表示為：

$\iiint _{\Omega }\mathrm {div} \mathbf {F} \,\mathrm {d} v=$$\oiint$$\scriptstyle \Sigma$$\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.$

其中Σ是空間閉區域Ω的邊界曲面，而 $\mathbf {n}$ 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

用向量表示

令V代表有一簡單閉曲面S為邊界的體積，$\mathbf {F}$是定義在V中和S上連續可微的向量場。如果$d\mathbf {S}$是外法向向量面元，則

$\int _{S}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \mathrm {d} V$

推論

• 對於標量函數g和向量場F的積，應用高斯公式可得：

$\iiint _{V}\left(\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right)\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}g\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

• 對於兩個向量場$\mathbf {F} \times \mathbf {G}$的向量積，應用高斯公式可得：

$\iiint _{V}\left(\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right)\,\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

• 對於標量函數f和非零常向量的積，應用高斯公式可得：

$\iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=\iint \limits _{\partial V}f\,\mathrm {d} \mathbf {S}$

• 對於向量場F和非零常向量的向量積，應用高斯公式可得：

$\iiint _{V}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} .$

例子

例子所對應的向量場。注意，向量可能指向球面的內側或者外側。

假設我們想要計算

$\oiint$$\scriptstyle S$$\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,$

其中S是一個單位球面，定義為

$S=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}.$

F是向量場

$\mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .$

直接計算這個積分是相當困難的，但我們可以用高斯公式來把它簡化：

$\iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V.$

其中W是單位球:

$W=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.$

由於函數y和z是奇函數，我們有：

$\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.$

因此：

$\oiint$$\scriptstyle S$$\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,\mathrm {d} V={\frac {8\pi }{3}},$

因為單位球W的體積是4π/3.

二階張量的高斯公式

二階張量的高斯公式實際上是上面的高斯公式的推論。為了使內容完整，首先簡要地介紹三維歐幾里得空間上的二階張量（詳見並矢張量或張量積）以及相關的概念和記號。在這裡，向量和向量場用黑斜體字母表示，張量用正黑體字母表示。

1. 兩個向量${\boldsymbol {a}}$和${\boldsymbol {b}}$並排放在一起所形成的量${\boldsymbol {ab}}$被稱為向量${\boldsymbol {a}}$和${\boldsymbol {b}}$的並矢或並矢張量。要注意，一般來說，${\boldsymbol {ab}}\neq {\boldsymbol {ba}}$。
2. ${\boldsymbol {ab}}=0$的充分必要條件是${\boldsymbol {a}}=0$或${\boldsymbol {b}}=0$。
3. 二階張量就是有限個並矢的線性組合。
4. ${\boldsymbol {ab}}$分別線性地依賴於${\boldsymbol {a}}$和${\boldsymbol {b}}$。
5. 二階張量$\mathbf {T}$和向量${\boldsymbol {a}}$的縮併$\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}$以及${\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T}$對 $\mathbf {T}$和${\boldsymbol {a}}$都是線性的。
6. 特別是，當$\mathbf {T} ={\boldsymbol {uv}}$時，

$\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {a}})\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {uv}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})\,{\boldsymbol {v}},$

所以，一般說來，$\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}\neq {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T}$。

下面舉一個例子：用二階張量及其與向量的縮併來重新寫$({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}$和${\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})$。

$({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {a}}=-({\boldsymbol {ab}}-{\boldsymbol {ba}})\cdot {\boldsymbol {c}}\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})\,{\boldsymbol {c}}=-{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {bc}}-{\boldsymbol {cb}})\,.$

我們還用到二階張量$\mathbf {T}$的轉置$\mathbf {T} '$（又可以記為$\mathbf {T} ^{\mathrm {t} }$），定義如下：

1. $\mathbf {T} '$仍然是一個二階張量，並且線性地依賴於$\mathbf {T}$。
2. $({\boldsymbol {uv}})'={\boldsymbol {vu}}$。

定理：設 $V$是三維歐幾里得空間中的一個有限區域，$S$是它的邊界曲面，${\hat {\boldsymbol {n}}}$是$S$的外法線方向上的單位向量，$\mathbf {T}$是定義在$V$的某個開鄰域上的$C^{1}$連續的二階張量場，$\mathbf {T} '$是$\mathbf {T}$的轉置，則

$\iint _{S}{\hat {\boldsymbol {n}}}\cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} V\,,\qquad \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.$

證明：下面以第二個式子為例進行證明。令第二個式子的左邊為${\boldsymbol {F}}$，則

${\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint _{S}{\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint _{S}T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j}\cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S\,.$

接下來利用向量場的高斯公式，可得

${\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}=\iiint _{V}\nabla \cdot (T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j})\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V\,,$

於是

${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\,({\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}})={\boldsymbol {e}}_{i}\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\boldsymbol {e}}_{i}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.$

至此證畢。

參閱

• 格林定理
• 斯托克斯定理