是在虛數軸正向距離原點兩個單位的純虛數,屬於高斯整數[2]:13,為虛數單位的兩倍[2]:12,同時也是負四的平方根[2]:12[3][4]:ix[5][6][7][8],是方程式的正虛根[3][9]:10。日常生活中通常不會用來計量事物,例如無法具體地描述何謂個人,邏輯上個人並沒有意義。[10]部分書籍或教科書偶爾會使用來做虛數的例子或題目。[11]

2i
2i
數表高斯整數
<< −3i −2i −i 0  i  2i  3i >>

高斯平面上的位置
命名
名稱2i
負四的平方根
二虛數單位
性質
高斯整數分解
絕對值2[1]
以此為的多項式或函數
表示方式
2倍虛數單位
代數形式
十進制2i
-1+i進制1110100
2i進制10
高斯整數導航
2i
−1+i i 1+i
−2 −1 0 1 2
−1−i i 1−i
−2i

高斯平面上,與相鄰的高斯整數有(上下相鄰;純虛數)以及(左右相鄰),然而複數不具備有序性,即無法判斷間的大小關係,因此無法定義何者為的前一個虛數、何者為的下一個虛數。

−1+3i 3i 1+3i
−1+2i 2i 1+2i
−1+i i 1+i
相鄰的高斯整數示意圖

性質

  •  不屬於實數,是一個純虛數,同時也是複數位於複數平面,其實部為0、虛部為2[12]輻角為90度( 弧度)[13],其也能表達為 [14]:7 [15]
  •  是一個高斯整數[16][17][18]高斯整數分解 [19]:711,或 [20]:433,其中,1+i2i高斯質因數[19]:711[21][22]:247
  • 所有複數的可以表達為 之冪的線性組合[23]換句話說若進位制 為底數,則可獨一無二地表示全體複數[24]。該進制稱為2i進制,由高德納1955年發現。[25]
  • 複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以 [26]換言之,則 [2]:32
     
  • 正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以 的商。[27][28]:41[2]:64
     
  •  等於最小的質數虛數單位,即 [15],其中 為第 個質數。
  • 虛數單位虛數單位倒數相差 
  • 任意數與 相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉90度。[14]:7[2]:20-21

2i的冪

 的前幾次冪為1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...[29],其會在實部和虛部交錯變換,其單位會在1、i、−1、−i中變化。其中,實數項為−4的冪[30] ,虛數的正值項為16的冪的2倍[31] 、虛數的負值項為16的冪的−8倍[32],因此這種特性使得 作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數,[29]並且有研究以此特性設計複數運算電路[33]

2i的平方根

 平方根正好是實數單位虛數單位,即 [28]:3,反過來說 正好是實數單位虛數單位相加的平方, [34][35]:388。若考慮平方根的正負,則1+i−1−i都是 的平方根。

相關數字

−2i

  的相反數,其平方根曾提議作為複數進位制的底數。[36]

1+i

  平方根[28],同時也是高斯質數[37]。由於其冪次為1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...,在正負、虛實交替變化,因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於 為底數的進位制, 做為底數更為適合。[38]亦有另外一個數也為 的平方根,即 ,但這個數較少出現於探討進位制底數的文章中,也沒有其他特殊的性質。此外, 也不是第一象限高斯質數,因此鮮少被拿出來討論。

−1+i

−1+i
−1+i
命名
名稱−1+i
性質
高斯整數分解 
絕對值 
表示方式
 
代數形式 
十進制−1+i
2i進制113.2
 
−1+i進位制系統中整數部分全為零的複數

  的平方根。距離原點 單位,輻角135度( 弧度[39]),其實部負一虛部為1。 不是高斯質數,其可以分解為i1+i的乘積。由於其冪次為−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...,其在正負、虛實交替變化,因此其可以構建一個以 為底數並用1和0表達複數的進位制[36][40]。其他複數雖然也可以, ,但對高斯整數而言,以 為底並不是一個優良的選擇。[38]雖然 也是 的平方根,但因為上述原因,所以 這個數字通不會用來作為進制的底數來使用。

除了 外,其他 形式的複數也能作為進位制底數,但其在表達數的範圍不同,以 為例,其表達的範圍較為均勻,而  等則會越來越狹長。[41]

−1+i進制與相關進制比較
十進制 二進制 2i進制 −1+i進制 −2+i進制
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 10 2 1100 2
−1 −1 103 11101 144
−2 −10 102 11100 143
i i 10.2 11 12
2i 10i 10 1110100 24
3i 11i 20.2 1110111 1341
i i 0.2 111 133
−2i −10i 1030 100 121
−3i −11i 1030.2 110011 13304
1+i 1+i 11.2 1110 13
1−i 1−i 1.2 111010 134
−1+i −1+i 113.2 10 11
−1−i −1−i 103.2 110 132
2+i 10+i 12.2 1111 14
2−i 10−i 2.2 111011 1440
−2+i −10+i 112.2 11111 10
−2−i −10−i 102.2 11101011 131

相鄰的高斯整數

−1+3i 3i 1+3i
−1+2i 2i 1+2i
−1+i i 1+i
 相鄰的高斯整數示意圖

3i

 是在虛數軸正向距離原點3個單位的純虛數,是虛數單位的三倍,同時也是負九(−9)的平方根,與純虛數2i4i相鄰、並與高斯整數−1+3i1+3i相鄰。

 的為虛數單位與質數3的乘積,其中,3也是高斯質數,因此 的高斯整數分解為 

−1+2i

 是在虛數軸正向距離原點 個單位的高斯整數,其實部為負一、虛部為2i,與純虛數2i相鄰、並與高斯整數−1+3i−1+i−2+2i相鄰。

 不是高斯質數,其具有高斯質因數  的高斯整數分解為 

1+2i

 是一個高斯質數 [37],在虛數軸正向距離原點 個單位,其實部為、虛部為2i,與純虛數2i相鄰、並與高斯整數1+3i1+i3+2i相鄰。

參見

參考文獻

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