一筆畫問題

一筆畫問題（Eulerian graph）是圖論中一個著名的問題。一筆畫問題起源於柯尼斯堡七橋問題。數學家歐拉在他1736年發表的論文《柯尼斯堡的七橋》中不僅解決了七橋問題，也提出了一筆畫定理，順帶解決了一筆畫問題^[1]。一般認為，歐拉的研究是圖論的開端。

與一筆畫問題相對應的一個圖論問題是哈密頓路徑問題。

能夠在不重複折返的前提下一筆畫寫出或一次走完該路徑的條件，是文字、圖形、路徑的奇頂點的數目正好是0個或2個時，而如果奇頂點的數目兩個時，必須正好為起點或終點，奇頂點是指該點延展出奇數數目的方向，例如T字路口延展出三條道路方向，而線段的端點也是只有一個方向的奇頂點

問題的提出

一筆畫問題是柯尼斯堡問題經抽象化後的推廣，是圖遍歷問題的一種。在柯尼斯堡問題中，如果將橋所連接的地區視為點，將每座橋視為一條邊，那麼問題將變成：對於一個有着四個頂點和七條邊的連通圖 $G(S,E)$ ，能否找到一個恰好包含了所有的邊，並且沒有重複的路徑。歐拉將這個問題推廣為：對於一個給定的圖，怎樣判斷是否存在着一個恰好包含了所有的邊，並且沒有重複的路徑？這就是一筆畫問題。用圖論的術語來說，就是判斷這個圖是否是一個能夠遍歷完所有的邊而沒有重複。這樣的圖現稱為歐拉圖。這時遍歷的路徑稱作歐拉路徑（一個環或者一條鏈），如果路徑閉合（一個圈），則稱為歐拉迴路^[1]。

一筆畫問題的推廣是多筆畫問題，即對於不能一筆畫的圖，探討最少能用多少筆來畫成。

一筆畫定理

對於一筆畫問題，有兩個判斷的準則，它們都由歐拉提出並證明^[1]。

定理一

連通的無向圖 $G$ 有歐拉路徑的充要條件是： $G$ 中奇頂點（連接的邊數量為奇數的頂點）的數目等於0或者2。

連通的無向圖 $G$ 是歐拉環（存在歐拉迴路）的充要條件是： $G$ 中每個頂點的度都是偶數。^[2]。

證明：^[2]^[3]

必要性：如果一個圖能一筆畫成，那麼對每一個頂點，要麼路徑中「進入」這個點的邊數等於「離開」這個點的邊數：這時點的度為偶數。要麼兩者相差一：這時這個點必然是起點或終點之一。注意到有起點就必然有終點，因此奇頂點的數目要麼是0，要麼是2。
充分性：
1. 如果圖中沒有奇頂點，那麼隨便選一個點出發，連一個環 $C_{1}$ 。如果這個環就是原圖，那麼結束。如果不是，那麼由於原圖是連通的， $C_{1}$ 和原圖的其它部分必然有公共頂點 $s_{1}$ 。從這一點出發，在原圖的剩餘部分中重複上述步驟。由於原圖是連通圖，經過若干步後，全圖被分為一些環。由於兩個相連的環就是一個環，原來的圖也就是一個歐拉環了。
2. 如果圖中有兩個奇頂點 $u$ 和 $v$ ，那麼加多一條邊將它們連上後得到一個無奇頂點的連通圖。由上知這個圖是一個環，因此去掉新加的邊後成為一條路徑，起點和終點是 $u$ 和 $v$ 。證畢。

連通無向圖有歐拉路徑的充要條件也可以寫作「圖中奇頂點數目不多於2個」，這是因為奇頂點數目不可能是1個。實際上，連通無向圖中，奇頂點的數目總是偶數。

對於不連通的無向圖，如果有兩個互不連通的部分都包含至少一條邊，那麼顯然不能一筆畫。只有當此圖的邊全都在某一個連通部分中（即其它的連通部分都是一個個孤立的頂點，度數為0），並滿足連通無向圖關於一筆畫的充要條件，而該圖才能一筆畫。也即是說，可以一筆畫的（無向）圖如果不是連通圖，就必定是一個可以一筆畫的連通圖與若干個孤立頂點的組合。

除了用頂點的度數作為判定的充要條件，還可以用圖中邊的特性來作為歐拉迴路存在的判定準則。連通的無向圖 $G$ 中存在歐拉迴路，等價於圖 $G$ 所有的邊可以劃分為若干個環的不交並。具體來說，等價於存在一系列的環 $C_{1},C_{2},\cdots ,C_{m}$ ，使得圖 $G$ 里的每一條邊都恰好屬於某一個環。

定理二

如果連通無向圖 $G$ 有 $2k$ 個奇頂點，那麼它可以用 $k$ 筆畫成，並且至少要用 $k$ 筆畫成^[2]。

證明：^[2]^[3]

將這

2k

個奇頂點分成

k

對後分別連起，則得到一個無奇頂點的連通圖。由上知這個圖是一個環，因此去掉新加的邊後至多成為

k

條歐拉路徑，因此必然可以用

k

筆畫成。但是假設全圖可以分為

q

條歐拉路徑，則由定理一知，每條鏈中只有不多於兩個奇頂點，於是

2q\geq 2k

。因此必定要

k

筆畫成。

有向圖的一筆畫

對有向圖來說，一筆畫不僅指遍歷所有邊，而且要遵循正確的方向。嚴謹地說，一個連通有向圖 $G$ 有歐拉路徑，指存在一個頂點，從它出發，沿着有向邊的方向，可以不重複地遍歷圖中所有的邊。有向圖的歐拉迴路則是指可以從某一頂點開始，沿有向邊的方向不重複地遍歷所有邊，然後回到原來出發的頂點。用類似於定理一中證明的思路，可以得到有向圖一筆畫的判定準則：

一個連通的有向圖可以表示為一條從頂點 $u$ 到 $v$ 的（不閉合的）歐拉路徑的充要條件是： $u$ 的出度（從這個頂點發出的有向邊的數量）比入度（指向這個頂點的有向邊的數量）多1， $v$ 的出度比入度少1，而其它頂點的出度和入度都相等。
一個連通的有向圖是歐拉環（存在歐拉迴路）的充要條件是以下兩個之一：
1. 每個頂點的出度和入度都相等；
2. 存在一系列的（有向）環 $C_{1},C_{2},\cdots ,C_{m}$ ，使得圖 $G$ 里的每一條邊都恰好屬於某一個環。