上閉集合
在數學中,上部集合(向上閉合集合)是給定偏序集合 (X,≤) 的子集 Y,使得對於所有元素 x 和 y,如果 x 小於等於 y,並且 x 是 Y 的一個元素,則 y 也在 Y 中。更加形式的說
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對偶概念是下部集合(向下閉合集合),它是給定偏序集合 (X,≤) 的任何子集 Y,使得對於所有元素 x 和 y,如果 x 小於等於 y,並且 y 是 Y 的一個元素,則 x 也在 Y 中。更加形式的說
性質
所有偏序集合都是自身的上閉集合。上閉集合的交集還是上閉集合。任何上閉集合的補集都是下閉集合,反之亦然。
給定偏序集合 (X,≤),用包含關係排序的 X 的下閉集合的家族是完全格,下閉集合格 O(X)。
給定有序集合 X 的任意子集 Y,包含 Y 的最小的上閉集合使用上箭頭指示為 ↑Y。對偶的,包含 Y 的最小下閉集合使用下箭頭指示為 ↓Y。下閉集合被稱為主要的,如果它有 ↓{x} 的形式,這裏的 x 是 X 的一個元素。一個有限有序集合 X 的所有的下閉集合 Y 等於包含 Y 的所有極大元的最小下閉集合:Y = ↓Max(Y),這裏的 Max(Y) 指示包含 Y 的極大元素的集合。
任何上閉集合的極小元形成一個反鏈(antichain)。反過來任何反鏈 A 確定一個上閉集合 {x:對於 A 中某個 y, x ≥ y}。對於滿足降鏈條件的偏序,在反鏈和上閉集合之間這種對應是一對一的,但對於更一般的偏序這不為真。
序數
序數通常被當作所有更小序數的集合。所以序數嚴格是序數的下閉集合。
引用
- Blanck, J. (2000) "Domain representations of topological spaces". Theoretical Computer Science, 247, 229–255.
- Hoffman, K. H. (2001), The low separation axioms (T0) and (T1)
- Davey, B.A., and Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order Second Edition. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-78451-1.