烏雷松引理

拓撲學中,烏雷松引理,有時稱為「拓撲學中的第一非平凡事實」,通常用於構造正規空間上不同性質的連續函數。這個定理有廣泛的應用,因為所有的度量空間豪斯多夫空間都是正規的。

這個引理是以帕維爾·薩穆伊洛維奇·烏雷松命名的。

正式表述

烏雷松引理說明,  是一個正規拓撲空間,若且唯若只要    不交閉子集,就存在一個從  單位區間   的連續函數:

 

使得對於所有  ,都有  ,而對於所有  ,都有  

任何滿足這個性質的函數f都稱為烏雷松函數

注意    以外的元素   並不需要使得   。這只在完備正規空間中才有可能。

烏雷松引理導致了其它拓撲空間,例如「吉洪諾夫性質」和「完全豪斯多夫空間」的表述。例如,這個引理的一個推論是:正規的T1空間吉洪諾夫空間

證明

 
烏雷松的洋蔥函數。

對於每一個二進分數  ,我們構造   的一個開子集  ,使得:

  1.  ,且對於所有的   
  2. 對於   閉包位於   內。

有了這些集合以後,我們便定義   對於所有  。利用二進有理數是稠密的事實,便不難證明   是連續的,且具有性質   

為了構造集合  ,我們還需要做更多事情:我們構造集合   ,使得:

  • 對於所有的  ,都有   
  • 對於所有的     都是開集和不交的;
  • 對於    包含在   的補集之內,而   的補集包含在   之內。

由於   的補集是閉集,且含有  ,因此從最後一個條件可以推出上面的條件 (2)。

我們使用數學歸納法。由於   是正規的,我們便可以找出兩個不交的開集   ,分別含有   。現在假設  ,且集合    對於   已經構造了。由於   是正規的,我們便可以找出兩個不交的開集,分別含有   的補集和   的補集。稱這兩個開集為   ,並驗證以上的三個條件成立。

參考文獻