亞歷山大對偶

在數學中，亞歷山大對偶是指由 J.W. Alexander於1915年的研究中所發現一種對偶理論。它在隨後由帕維爾·亞歷山德羅夫和列夫·龐特里亞金等人做了進一步發展。

對於歐氏空間、球面或其他的某些流形的一個子空間 $X$，亞歷山大對偶可以用於求 $X^{c}$ 的同調群。亞歷山大對偶是Spanier-Whitehead對偶的一種推廣。

定理（亞歷山大對偶）

考慮 n 維球面 $S^{n}$ 的一個緊子空間$X$，若其局部可縮，則有：

$${\tilde {H}}_{q}(S^{n}\setminus X)\cong {\tilde {H}}^{n-q-1}(X)$$

其中 ${\tilde {H}}_{i}(X)$ 代表空間 $X$ 的 $i$ 維約化同調群，同樣，${\tilde {H}}^{i}(X)$ 代表空間 $X$ 的 $i$ 維約化上同調群。