伊藤積分

伊藤微分（英語：Itō calculus）得名自日本數學家伊藤清，是將微積分的概念擴展到隨機過程中，像布朗運動（維納過程）就可以用伊藤微積分進行分析。主要應用在金融數學及隨機微分方程中。伊藤微積分的中心概念是伊藤積分，是將傳統的黎曼－斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中，隨機過程一方面是一個隨機變量，而且也是一個不可微分的函數。

藉由伊藤積分，可以將一個隨機過程（被積分函數）對另一個隨機過程（積分變量）進行積分。積分變量一般會布朗運動。從 $0$ 到 $t$ 的積分結果是一個隨機變量。此隨機變量定義為一特定隨機變量序列的極限（有許多等效的方式可建構上述的定義）。

伊藤積分是對半鞅X以及隨機過程H的積分

\int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).

這裏X是布朗運動，或者更廣義地，是一個半鞅，H是一個適配於由X生成的篩選的，本地平方可積分的過程(Revuz & Yor 1999，Chapter IV)。布朗運動的路徑無法滿足應用於微積分標準技術的需求。特別地，其在任意點不可微，並且在每一個時間間隔都有無限變差。其結果是，無法用普通的方法定義積分（參考黎曼－斯蒂爾傑斯積分）。主要的創新是只要調配被積函數，就可以定義一個積分，不嚴格的講，即t時刻它的值僅僅依靠此時刻之前的可用資訊。

伊藤過程的重要結果包括分部積分公式和伊藤引理，即變量公式的變形。這些由於二次方差項，都與標準微積分公式不同，

股票價格和其他可交易資產的價格可以通過隨機過程進行建模，例如布朗運動，或者，更經常的，幾何布朗運動（參見布萊克-舒爾斯模型）。然後，伊藤隨機積分代表，在時間t持有一定數量Ht的股票，對其進行連續交易的回報。這種情況下，調配H就相應於，在任何時候只使用可用資訊的交易策略限制。這也阻止了通過高頻交易獲得無限收益的可能性：市場中每個上漲之前買入股票，每個下跌之前賣出股票。相似地，調配H的條件暗示，當作為黎曼和極限進行計算的時候，隨機積分不會收斂(Revuz & Yor 1999，Chapter IV)。

伊藤引理

$df(X_{t})=f'(X_{t})dX_{t}+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}dt$

伊藤等距同構

$E((\int H_{s}dB_{s})^{2})=E(\int H_{s}^{2}ds)$

物理學家的伊藤積分

隨機微分方程

朗之萬方程

${\dot {x}}=f(x(t))+\xi (t)$

$\langle \xi (s)\xi (t)\rangle =\delta (s-t)$

泛函積分

$Z=\int D\xi P(\xi )$

$P(\xi )=\exp(-\int \xi ^{2}/2)$

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參考資料

Revuz, Daniel; Yor, Marc, Continuous martingales and Brownian motion, Berlin: Springer, 1999, ISBN 3-540-57622-3
Kleinert. Path integrals in Physics, Polymers, Financial Markets.
Oksendal. Stochastic Differential Equations.
Scott M. Applied Stochastic Processes.
Karatzas, Shreve Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd Edition 1996