算術中,當兩個整數的結果不能以整數表示時,餘數便是其「餘留下的量」。當餘數為零時,被稱為整除

自然數的餘數

如果    是兩個自然數  非0,可以證明存在兩個唯一的整數    ,滿足    。其中,   被稱為商數  被稱為餘數帶餘除法是一個關於如何計算餘數的算法,其中提供了對此結果的證明。

例子

  • 13除以10,商為1,餘數為3,  
  • 26除以4,商為6,餘數為2,  
  • 56除以7,商為8,餘數為0,  
  • 9除以10,商為0,餘數為9,  

一般整數的餘數

如果    是整數,  非零,那麼餘數   滿足這樣的關係:

  ,   為整數,且 

當這樣定義時,可能導致兩種可能的餘數。例如,除法式子 的可以表達為

 (在數學工作者中使用較多)

 .

即餘數可能是3或−2。

這種對餘數不明確的定義可能導致嚴重的計算問題,對於處理關鍵任務的系統,錯誤的選擇會導致嚴重的後果。在一些組合語言系統中,會有特殊的除法指令,設定餘數和被除數同號。

在上面的例子,負餘數為正餘數減5得來,5即是除數   。通常,當除以   時,如果正餘數為 ,負餘數為 ,那麼

 

Python 2.7語言定義的除法中,不能整除的情況下,餘數與除數同號,例如 表達為

 

  則表達為

 

實數的餘數

  實數,且   非零,  除以   會得到另一個實數(商),沒有所謂的剩餘的數.但如果要求商為一個整數,則餘數的概念還是有必要的。可以證明:存在唯一的整數商   和唯一的實數r 使得: ,  。在整數除法裏,餘數可以要求為負,即滿足關係: 

如上在實數範圍內擴展餘數的定義在數學理論中並不重要;儘管如此,很多程序語言都實現了這個定義—參同餘

參見