偏度

偏度（英語：skewness），亦稱歪度，在概率論和統計學中衡量實數隨機變量概率分佈的不對稱性。偏度的值可以為正，可以為負或者甚至是無法定義。在數量上，偏度為負（負偏態；左偏）就意味着在概率密度函數左側的尾部比右側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數在內）位於平均值的右側。偏度為正（正偏態；右偏）就意味着在概率密度函數右側的尾部比左側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數）位於平均值的左側。偏度為零就表示數值相對均勻地分佈在平均值的兩側，但不一定意味着其為對稱分佈。

偏度不為零的實驗數據樣本（小麥胚芽鞘的向地反應：1,790）

負偏態（左）和正偏態（右）

介紹

偏度分為兩種：

• 負偏態或左偏態：左側的尾部更長，分佈的主體集中在右側。。
• 正偏態或右偏態：右側的尾部更長，分佈的主體集中在左側。。

如果分佈對稱，那麼平均值=中位數，偏度為零（此外，如果分佈為單峰分佈，那麽平均值=中位數=眾數）。

定義

隨機變量$X$的偏度$\gamma _{1}$為三階標準矩，可被定義為：

$\gamma _{1}=\operatorname {E} {\Big [}{\big (}{\tfrac {X-\mu }{\sigma }}{\big )}^{\!3}\,{\Big ]}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{3}{\big ]}}{\ \ \ (\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{2}{\big ]})^{3/2}}}={\frac {\kappa _{3}}{\kappa _{2}^{3/2}}}\ ,$

其中$\mu _{3}$是三階主動差，$\sigma$是標準差。$E$是期望值算子。等式的最後以三階累積量與二階累積量的1.5次方的比率來表示偏度。這和用四階累積量除去二階累積量的平方來表示峰度的方法向類似。

偏度有時用$\mathrm {Skew} [X]$來表示。老教科書過去常常用${\sqrt {\beta _{1}}}$來表示偏度，可是由於偏度可為負，這樣的表示法較為不便。

對上面的等式進行擴展可導出用非主動差E[X³]來表示偏度的公式：

$\gamma _{1}=\operatorname {E} {\bigg [}{\Big (}{\frac {X-\mu }{\sigma }}{\Big )}^{\!3}\,{\bigg ]}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\ .$

樣本偏度

具有$n$個值的樣本的樣本偏度為：

$g_{1}={\frac {m_{3}}{{m_{2}}^{3/2}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{3/2}}}\ ,$

其中${\overline {x}}$是樣本平均值，$m_{3}$是三階樣本主動差，$m_{2}$是二階樣本中心距，即樣本方差。

性質

當： $\Pr \left[X>x\right]=x^{-3}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0$ 時，偏度可以是無窮大的。

或者當： $\Pr[X<x]={\frac {(1-x)^{-3}}{2}}$（$x$為負）及

$\Pr[X>x]={\frac {(1+x)^{-3}}{2}}$（$x$為正）時，偏度無法定義。

在後面的這個例子中，三階累積量是無法定義的。 其他分佈形式比如：

$\Pr \left[X>x\right]=x^{-2}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0$

二階和三階累積量是無窮大的，所以偏度也是無法定義的。

如果假定$Y$為$n$個獨立變量之和並且這些變量和$X$具有相同的分佈，那麽$Y$的三階累積量是$X$的$n$倍，$Y$的二階累積量也是$X$的$n$倍，所以： ${\mbox{Skew}}[Y]={\frac {{\mbox{Skew}}[X]}{\sqrt {n}}}$。根據中心極限定理，當其接近高斯分佈時變量之和的偏度減小。

參見

• 峰度
• 主動差

參考資料

• Groeneveld, RA; Meeden, G. Measuring Skewness and Kurtosis. The Statistician. 1984, 33 (4): 391–399 [2010-10-30]. doi:10.2307/2987742. （原始內容存檔於2020-08-20）. 
• Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition Wiley ISBN 0-471-58495-9
• MacGillivray, HL. Shape properties of the g- and h- and Johnson families. Comm. Statistics - Theory and Methods. 1992, 21: 1244–1250.