函數方程是含有未知函數的方程。函數方程可以有一個解，可以無解，也可以有多個解，甚至可以有無窮多個解。
的解是伽瑪函數。
函數方程與代數方程、微分方程不同，並沒有普遍的解法。所以這個分支也沒能發展起來。如上述的解為Gamma函數和初等函數的方程的解法完全不同。
對於二元函數方程，對其變量賦予特殊值的做法較多。
例子：解函數方程 f ( x + y ) 2 = f ( x ) 2 + f ( y ) 2 {\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}} 。
設 x = y = 0 {\displaystyle x=y=0} ： f ( 0 ) 2 = f ( 0 ) 2 + f ( 0 ) 2 {\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}} 。所以 f ( 0 ) 2 = 0 {\displaystyle f(0)^{2}=0} ， f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} 。
現在，設 y = − x {\displaystyle y=-x} ：
由於實數的平方非負，以及兩個非負數的和為零若且唯若兩個數都為零，因此對於所有x， f ( x ) 2 = 0 {\displaystyle f(x)^{2}=0} ，所以 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 是唯一的解。
的解是所有指數函數。
的解是所有對數函數。
(柯西函數方程)
(龐加萊方程)
(琴生)
(達朗貝爾)
（阿貝爾方程）。
