單應性

單應性是幾何中的一個概念。單應性是一個從實射影平面到射影平面的可逆變換，直線在該變換下仍映射為直線。具有相同意義的詞還包括直射變換、射影變換和射影性等， 不過「直射變換」也在更廣義的範圍內使用。

形式化地說，射影變換是一種在射影幾何中使用的變換：它是一對透視投影的組合。它描述了當觀察者視角改變時，被觀察物體的感知位置會發生何種變化。射影變換並不保持大小和角度，但會保持重合關係和交比——兩個在射影幾何中很重要的性質。射影變換形成了一個群。

對於更廣義的射影空間——具有不同維度或不同的域——來說，「單應性」代表射影線性變換（由其相關的向量空間的線性變換導出的可逆變換），而「直射變換」（意為「把直線映射為直線」）更為廣義，它既包含了單應性，也包含了自同構直射變換（由域自同構導出的直射變換），或者是這兩者的組合。

計算機視覺中的應用

在計算機視覺領域中，空間中同一平面的任意兩幅圖像通過單應性關聯在一起（假定是針孔相機）。比如,一個物體可以通過旋轉相機鏡頭獲取兩張不同的照片(這兩張照片的內容不一定要完全對應,部分對應即可),我們可以把單應性設為一個二維矩陣M,那麼照片1乘以M就是照片2。 這有着很多實際應用，比如圖像校正、圖像對齊或兩幅圖像之間的相機運動計算（旋轉和平移）等。一旦旋轉和平移從所估計的單應性矩陣中提取出來，那麼該信息將可被用來導航或是把3D物體模型插入到圖像或視頻中，使其可根據正確的透視來渲染，並且成為原始場景的一部分（請見增強現實）。

如果兩幅圖像之間的相機運動只有旋轉而沒有平移，那麼這兩幅圖像通過單應性關聯在一起（假定是針孔相機）。

3D的平面到平面公式

我們有兩個相機a和b，這兩個相機都向某平面中的點$P_{i}$看去。

把$P_{i}$的投影從b中的${}^{b}p_{i}$轉換到a中的點${}^{a}p_{i}$：

${}^{a}p_{i}=K_{a}\cdot H_{ba}\cdot K_{b}^{-1}\cdot {}^{b}p_{i}$

其中$H_{ba}$是

$H_{ba}=R-{\frac {tn^{T}}{d}}$

$R$是旋轉矩陣，通過該矩陣b關於a旋轉；t是從a到b的平移向量；n和d分別是平面的法向量和相機到平面的距離。

K_a和K_b是相機的內參數矩陣。

此圖顯示相機b在距離d處看向平面。

提示：從上圖中可知，$n^{T}P_{i}$是向量$P_{i}$到$n^{T}$的投影，且等於d。因此${\frac {tn^{T}}{d}}P_{i}=t$。而且我們有$H_{ba}P_{i}=RP_{i}-t$。

數學定義

齊次坐標以矩陣乘的方式來表示射影變換，因為使用笛卡兒坐標的話，矩陣乘無法執行透視射影所必需的除法運算。換句話說，透視射影在笛卡兒坐標下不是線性變換。

給定：

$p_{a}={\begin{bmatrix}x_{a}\\y_{a}\\1\end{bmatrix}},p_{b}^{\prime }={\begin{bmatrix}w^{\prime }x_{b}\\w^{\prime }y_{b}\\w^{\prime }\end{bmatrix}},\mathbf {H} _{ab}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}&h_{13}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}\\h_{31}&h_{32}&h_{33}\end{bmatrix}}$

則：

$p_{b}^{\prime }=\mathbf {H} _{ab}p_{a}\,$

其中：

$\mathbf {H} _{ba}=\mathbf {H} _{ab}^{-1}.$

也即：

$p_{b}=p_{b}^{\prime }/w^{\prime }={\begin{bmatrix}x_{b}\\y_{b}\\1\end{bmatrix}}$

仿射單應性

當要計算單應性的圖像區域比較小，或者圖像要求焦距較長時，仿射單應性是更合適的模型。仿射單應性是廣義單應性中的一種，它的最後一行固定為

$h_{31}=h_{32}=0,\;h_{33}=1.$

參見

• 外極幾何
• W曲線

參考文獻

• O. Chum and T. Pajdla and P. Sturm. The Geometric Error for Homographies. Computer Vision and Image Understanding. 2005, 97 (1): 86–102. doi:10.1016/j.cviu.2004.03.004. 
• Bill Goldman (2005) Transformations in Circle Geometry, course notes from University of Maryland.

外部連結

• M. Lourakis' homest （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） is a GPL C/C++ library for robust, non-linear (based on the Levenberg-Marquardt algorithm) homography estimation from matched point pairs. homest can estimate fully projective and affine homographies with a variety of objective functions.
• OpenCV is a complete (open and free) computer vision software library that has many routines related to homography estimation (cvFindHomography) and re-projection (cvPerspectiveTransform). Download and documentation information is on the OpenCV Wiki.
• Computing the plane to plane homography （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• How to compute a homography （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• MATLAB Functions for Multiple View Geometry （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） Matlab functions for calculating a homography and the fundamental matrix