變速率圓周運動

變速率圓周運動（英語：Non-uniform circular motion）是圓周運動的一種，指的是物體移動的角速度隨着時間變化而變化的圓周運動。一個正在作變速率圓周運動的物體，其各個位置向心加速度之和不等於零，切向加速度也不為零。

質點作變速率圓周運動時，它的切向速度和角速度都在變化

過山車旋轉一周的過程就是變速率圓周運動

圓周運動，藍色的是向心加速度

如果一個物體正在作變速率圓周運動，則說明有外力正在改變圓周運動的性質，這個力可以是重力、正向力或摩擦力。生活中大部分的圓周（離心）運動，都存在切向的加速度，即為變速率圓周運動。

在變速率圓周運動的過程中，正向力$F_{N}$和重力$G$不在同一條直線上。過山車旋轉一周的過程就是變速率圓周運動，在底部速度最快，頂端速度最慢。重力是這個過程中阻礙過山車做等速率圓周運動的主要因素。

受力分析

物體在作等速率圓周運動時，其所受的淨力（向心力）永遠指向圓心。但是在變速率圓周運動的過程中，物體所受淨力指向圓心的分量$F_{R}$產生向心加速度$a_{R}$，使物體保持圓周移動。其相切分量$F_{\theta }\,$則改變線速度的大小，因而產生一個圓周的切線加速度分量$a_{\theta }\,$，其大小為：

$a_{tan}={\frac {dv}{dt}}$

而向心加速度是由速度方向的變化所產生的，其大小和物體做等速率圓周運動時相同，均為：

$a_{R}={\frac {v^{2}}{r}}$

此時物體總加速度的向量$a$等於這兩個分量的向量和：

$\mathbf {a} =\mathbf {a_{tan}} +\mathbf {a_{R}} .$

豎直平面內的變速率圓周運動

繩球模型

沒有其他物體支持的物體在豎直平面內做圓周運動時（例如一個物體綁在繩子上做圓周運動），其能夠完成一個圓周運動的臨界條件為在物體通過圓周最頂端的時候，其受到的重力$G$剛好充當了圓周運動的向心力$F_{R}$，即$G=mg=mv^{2}/r=F_{R}$，由此可以得到物體通過最高點的最小的速度為：

$v_{min}={\sqrt {gr}}$

其中:

$g$為重力加速度，

$r$為圓周運動的半徑。

假設物體通過圓周最頂端的速度為$v_{top}$，當$v_{top}>v_{min}$時，物體能夠完成圓周運動。當$v_{top}<v_{min}$時，物體在達到頂端之前就開始做斜拋運動。

杆球模型

有其他物體支持的物體在豎直平面內做圓周運動時（例如一個物體綁在輕杆上做圓周運動），由於有其他物體（輕杆）支撐，物體在頂端的最小速度為零，即$v_{top}=0$。此時物體收到的力分別為重力$G$和（輕杆的）支持力$F_{N}=mg$。