常微分方程

在數學分析中，常微分方程（英語：ordinary differential equation，簡稱ODE）是未知函數只含有一個自變量的微分方程。對於微積分的基本概念，請參見微積分、微分學、積分學等條目。

很多科學問題都可以表示為常微分方程，例如根據牛頓第二運動定律，物體在力的作用下的位移$s$和時間$t$的關係就可以表示為如下常微分方程：

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}=f(s)$；

其中$m$是物體的質量，$f(s)$是物體所受的力，是位移的函數。所要求解的未知函數是位移$s$，它只以時間$t$為自變量。

精確解總結

一些微分方程有精確封閉形式的解，這裏給出幾個重要的類型。

在下表中，$P(x),Q(x);P(y),Q(y)$和$M(x,y),N(x,y)$是任意關於$x,y$的可積函數，$b,c$是給定的實常數，$C,C_{1},C_{2}\ldots$是任意常數（一般為複數）。這些微分方程的等價或替代形式通過積分可以得到解。

在積分解中，$\lambda$和$\epsilon$是積分變量（求和下標的連續形式），記號$\int ^{x}F(\lambda )\mathrm {d} \lambda$只表示$F(\lambda )$對$\lambda$積分，在積分以後$\lambda {}=x$替換，無需加常數（明確說明）。

微分方程	解法	通解
可分離微分方程
一階，變量$x$和$y$均可分離（一般情況,下面有特殊情況） $P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0\,\!$ $P_{1}(x)Q_{1}(y)\,\mathrm {d} x+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,\mathrm {d} y=0\,\!$	分離變量（除以$P_{2}Q_{1}$）。	$\int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,\mathrm {d} \lambda =C\,\!$
一階，變量$x$可分離 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F(x)\,\!$ $\mathrm {d} y=F(x)\,\mathrm {d} x\,\!$	直接積分。	$y=\int ^{x}F(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +C\,\!$
一階自治，變量$y$可分離 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F(y)\,\!$ $\mathrm {d} y=F(y)\,\mathrm {d} x\,\!$	分離變量（除以$F$）。	$x=\int ^{y}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{F(\lambda )}}+C\,\!$
一階，變量$x$和$y$均可分離 $P(y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+Q(x)=0\,\!$ $P(y)\,\mathrm {d} y+Q(x)\,\mathrm {d} x=0\,\!$	整個積分。	$\int ^{y}P(\lambda )\,{\mathrm {d} \lambda }+\int ^{x}Q(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda =C\,\!$
一般一階微分方程
一階，齊次 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)\,\!$	令$y=ux$，然後通過分離變量$u$和$x$求解。	$\ln(Cx)=\int ^{\frac {y}{x}}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{F(\lambda )-\lambda }}\,\!$
一階，可分離變量 $yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0\,\!$ $yM(xy)\,\mathrm {d} x+xN(xy)\,\mathrm {d} y=0\,\!$	分離變量（除以$xy$）。	$\ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}\,\!$ 如果$N=M$,解為$xy=C$。
正合微分，一階 $M(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+N(x,y)=0\,\!$ $M(x,y)\,\mathrm {d} y+N(x,y)\,\mathrm {d} x=0\,\!$ 其中${\frac {\partial M}{\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!$	全部積分	${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}M(x,\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{x}N(\lambda ,y)\,\mathrm {d} \lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}}\,\!$ 其中$Y(y)$和$X(x)$是積分出來的函數而不是常數，將它們列在這裏以使最終函數$F(x,y)$滿足初始條件。
非正合微分,一階 $M(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+N(x,y)=0\,\!$ $M(x,y)\,\mathrm {d} y+N(x,y)\,\mathrm {d} x=0\,\!$ 其中${\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!$	積分因子$\mu (x,y)$滿足 ${\frac {\partial (\mu M)}{\partial x}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial y}}\,\!$	如果可以得到$\mu (x,y)$： ${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}\mu (x,\lambda )M(x,\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{x}\mu (\lambda ,y)N(\lambda ,y)\,\mathrm {d} \lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\\\end{aligned}}\,\!$
一般二階微分方程
二階，自治 ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=F(y)\,\!$	原方程乘以${\frac {2\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$，代換$2{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\,\!$，然後兩次積分。	$x=\pm \int ^{y}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\epsilon )\,\mathrm {d} \epsilon +C_{1}}}}+C_{2}\,\!$
線性微分方程（最高到$n$階）
一階線性，非齊次的函數系數 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+P(x)y=Q(x)\,\!$	積分因子：$e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }$。	$y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\epsilon )\,\mathrm {d} \epsilon }Q(\lambda )\,{\mathrm {d} \lambda }+C\right]$
二階線性，非齊次的常系數 ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+cy=r(x)\,\!$	余函數$y_{c}$：設$y_{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}$，代換並解出$\alpha$中的多項式，求出線性無關函數$e^{\alpha _{j}x}$。 特解$y_{p}$：一般運用常數變易法，雖然對於非常容易的$r(x)$可以直觀判斷。	$y=y_{c}+y_{p}$ 如果$b^{2}>4c$,則： $y_{c}=C_{1}e^{\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}+C_{2}e^{-\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}\,\!$ 如果$b^{2}=4c$，則： $y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}\,\!$ 如果$b^{2}<4c$,則： $y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}+C_{2}\cos {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}\right]\,\!$
$n$階線性，非齊次常系數 $\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {\mathrm {d} ^{j}y}{\mathrm {d} x^{j}}}=r(x)\,\!$	余函數$y_{c}$：設$y_{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}$，代換並解出$\alpha$中的多項式，求出線性無關函數$e^{\alpha _{j}x}$。 特解$y_{p}$：一般運用常數變易法，雖然對於非常容易的$r(x)$可以直觀判斷。	$y=y_{c}+y_{p}$ 由於$\alpha _{j}$為$n$階多項式的解： $\prod _{j=1}^{n}\left(\alpha -\alpha _{j}\right)=0\,\!$，於是： 對於各不相同的$\alpha _{j}$， $y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}\,\!$ 每個根$\alpha _{j}$重複$k_{j}$次， $y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}\,\!$ 對於一些複數值的αj，令α = χj + iγj，使用歐拉公式，前面結果中的一些項就可以寫成 $C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\phi _{j})\,\!$ 的形式，其中ϕj為任意常數（相移）。

參見

• 微分方程
• 偏微分方程