最小上界性

數學中,最小上界性(亦稱上確界性,英語:least-upper bound property, LUB[1]實數集和其他一些有序集的基礎屬性,與實數的完備性等價[2] 。 集合X具有最小上界性若且唯若X的任意具有上界的非空子集最小上界 (上確界)。

任意的有界非空實數集都有一個最小上界。

性質概述

實數

 實數集的一個非空子集。

  • 如果實數 大於或等於所有 中的元素,則 稱為 上界
  • 如果實數  的上界,並且 小於或等於所有 的上界,則 稱為 最小上界

最小上界性的表述為

所有具有上界的非空實數集都有最小上界,且最小上界為實數。

一般序集合

對任意偏序集合 ,我們都可以定義 的子集的上界和最小上界,只需把前一段落的「實數」改為「 的元素」即可。

此處最小上界性的表述為

所有具有上界的 的非空子集都有最小上界 ,並滿足 

有理數集並沒有最小上界性,考慮其子集

 

它有在有理數集中的上界(例如2),但它的最小上界 不在有理數集中。

證明

應用

最小上界性可以用來證明許多實分析中的主要定理

中間值定理

波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

極值定理

海涅-博雷爾定理

參考文獻

  1. ^ Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39)
  2. ^ Willard says that an ordered space "X is Dedekind complete if every subset of X having an upper bound has a least upper bound." (pp. 124-5, Problem 17E.)