極限點(英語:Limit point)在數學中是指可以被集合S中的點[註 1]隨意逼近的點。[註 2]

這個概念有益的推廣了極限的概念,並且是諸如閉集和拓撲閉包等概念的基礎。實際上,一個集合是閉合的若且唯若他包含所有它的極限點,而拓撲閉包運算可以被認為是通過增加它的極限點來擴充一個集合。[註 3]

定義

定義 — 
 拓撲空間  的子集;若對  的某點 ,所有包含  開集也有   內的非   點,即:

 

則稱   極限點limit point)。由   的所有極限點所組成的集合稱為  導集derived set),通常記為 ,換句話說:

 

以上的定義來自於「總是可以找到一組  內的點去逼近  」的粗略想法,但一般的拓撲空間的不一定有像距離這樣的工具來比較「開集的大小」,若想以極限點嚴謹地描述「可沿着   去逼近點 」的話,還需要對 做額外的假設。

特殊類型的極限點

定義 — 
 拓撲空間  的子集:

若包含 的所有開集都包含可數  的點,則稱  ω會聚點ω‐accumulation point)。

若包含  的所有開集都包含不可數 的點,則稱  縮合點condensation point)。

度量空間的聚集點

度量空間  自然的帶有由度量 生成的拓撲  更仔細地說,是由以開球為元素的拓撲基所生成的拓撲,也就是 裏的開集都是某群開球的聯集。這樣對開球定義極限點的話,就會等價於對 定義(因為屬於某個開球等價於屬於某開集),換句話說,對度量空間可以作如下定義:

定義 — 
 度量空間 ,且   ;若   ,且對所有  ,存在   使得   ,也就是

 

這樣稱   是    的聚集點(cluster point)或會聚點(accumulation point)

直觀上可理解為「可以用   裏的點(以度量   )無限制地逼近 」。應用上,  定義域的聚集點也是函數極限能在   上有定義的前提條件。

度量空間中,ω會聚點與普通的極限點定義等價

性質

  • 關於極限點的性質:  的極限點,若且唯若它屬於  \ { }的閉包
    • 證明:根據閉包定義,某點屬於某集合的閉包,若且唯若該點的所有鄰域都和該集合相交。則有:x 的極限點,若且唯若所有 的鄰域都包含一個非 的點屬於S,若且唯若所有 的鄰域含有一個點屬於 \ {x},若且唯若 屬於 的閉包。
  •  的閉包具有下列性質: 的閉包等於 和其導集的併集
    • 證明:(從左到右)設 屬於 的閉包。若 屬於S,命題成立。若 ,則所有 的鄰域都含有一個非 的點屬於 ;也就是說,x 的極限點, 。(從右到左)設 屬於S,則明顯地所有 的鄰域和 相交,所以 屬於 的閉包。若 屬於L(S),則所有 的鄰域都含有一個非 的點屬於S,所以 也屬於 的閉包。得證。
  • 上述結論的推論給出了閉集的性質:集合 是閉集,若且唯若它含有所有它的極限點。
    • 證明1S是閉集,若且唯若 等於其閉包,若且唯若 = ∪ L(S),若且唯若L(S)包含於S
    • 證明2:設 是閉集,  的極限點。則 必須屬於S,否則 的補集為 的開鄰域,和 不相交。相反,設 包含所有它的極限點,需要證明 的補集是開集。設 屬於 的補集。根據假設,x不是極限點,則存在 的開鄰域U 不相交,則U 的補集中,則 的補集是開集。
  • 孤點不是任何集合的極限點。
    • 證明:若 是孤點,則{x}是只含有  的鄰域。
  • 空間 離散空間,若且唯若 的子集都沒有極限點。
    • 證明:若 是離散空間,則所有點都是孤點,不能是任何集合的極限點。相反,若 不是離散空間,則單元素集合{x}不是開集。那麼,所有{x}的鄰域都含有點yx,則  的極限點。
  • 若空間 密着拓撲,且  的多於一個元素的子集,則 的所有元素都是 的極限點。若 單元素集合,則所有 \ 的點仍然是 的極限點。
    • 說明:只要 \ {x}非空,它的閉包就是X;只有當 是空集或  的唯一元素時,它的閉包才是空集。
  •  T1空間,則    的極限點等價於   的每個鄰域皆包含無限多個   的點。[註 4]

註釋

  1. ^ 不包含極限點本身
  2. ^ 非正式的說法是在拓撲空間 X 中的一個集合 S 的極限點x可以被除x以外的集合內任意點逼近
  3. ^ 一個有關的概念是序列的聚集點(cluster point)或會聚點(accumulation point)。
  4. ^ 在定義中使用「開鄰域」的形式來證明一個點是極限點,使用「一般鄰域」的形式來得到一個已知極限點的性質,這樣通常會比較輕鬆。

引用