柯西剛性定理

柯西剛性定理(Cauchy's theorem)是幾何學的定理,得名自數學家奧古斯丁-路易·柯西。柯西剛性定理提到二個三維的凸多面體若有其對應面都全等,則兩者多胞形本身也會全等。若將凸多面體展開,使各面都在同一個平面上,再加上多面體的哪些面會相連的說明,這可以確定多面體的形狀,而且符合的多面體只會有一個。例如,立方體的展開圖會是六個正方形,若有一個凸多面體,展開後也是六個正方形,且各面連接方式和立方體展開圖相同,則該多面體一定是立方體。不可能有其他不是立方體,但展開圖和立方體相同的凸多面體。

柯西剛性定理是結構剛性英語Structural rigidity理論的基礎。若有人用剛性材質組成凸多胞形的面,使各面不會變形,面和面之間有鉸鏈相連,所組成的多面體會是剛性結構。

敘述

 
正二十面體,本身也是凸多面體

PQ是組合等價的三維凸多面體,也就是說這二個是同構face lattic的凸多面體,再者,PQ每一對對應的面都互相全等(在進行剛體的平移或旋轉運動後就相同),則凸多面體PQ也是全等的。

上述要求的凸多面體是必要的。考慮一個正二十面體,可以將一個頂點往內壓,形成一個非凸的多面體,和原多面體仍然是組合等價,但二者是不同的。

歷史

此結果源自歐幾里得的《幾何原本》,其中提到二個多面體若每一對應面都相等,則二個多面體相同。此一版本的定理是由柯西以約瑟夫·拉格朗日之前的研究為基礎,在1813年證明的。在他證明中用到的主要引理裏有一個錯誤,後來是由恩斯特·施泰尼茨英語Ernst SteinitzIsaac Jacob Schoenberg英語Isaac Jacob Schoenberg亞歷山大·亞歷山德羅夫英語Aleksandr Danilovich Aleksandrov所修正的。更正後的柯西證明又短又優雅,可以列在數學天書中的證明英語Proofs from THE BOOK[1]

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參考資料

  1. ^ Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. Proofs from THE BOOK. Springer. 2014: 91–93. ISBN 9783540404606. 
  • A. L. Cauchy, "Recherche sur les polyèdres – premier mémoire", Journal de l'École Polytechnique 9 (1813), 66–86.
  • Max Dehn, "Über die Starrheit konvexer Polyeder"頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) (in German), Math. Ann. 77 (1916), 466–473.
  • Aleksandr Danilovich Aleksandrov, Convex polyhedra, GTI, Moscow, 1950. English translation: Springer, Berlin, 2005.
  • James J. Stoker, "Geometrical problems concerning polyhedra in the large", Comm. Pure Appl. Math. 21 (1968), 119–168.
  • Robert Connelly, "Rigidity", in Handbook of Convex Geometry, vol. A, 223–271, North-Holland, Amsterdam, 1993.