維基百科

梅森質數與完全數集合

维基媒体列表条目

梅森質數與完全數是數論里關係密切的自然數。梅森質數以數學家、神學家、修士馬蘭·梅森命名，是能以2甲－1表示、且甲為正整數的質數，如梅森質數3就能寫成22－1[1][2]。梅森質數在上述表達式對應的數甲一定是質數，但甲是質數不代表得出的結果就是梅森質數，如211－1＝2047＝23×89[3]。完全數是等於真因數之和的自然數，真因數即自然數除自身外的因數。如6就是完全數，因數分別是1、2、3、6且1＋2＋3＝6。[2][4]

6是完全數
20世紀下半葉起已知最大質數位數對數圖，這些已知最大質數大多是梅森質數

根據歐幾里得部分證明、萊昂哈德·歐拉完全證明的歐幾里得－歐拉定理可知梅森質數與已知完全數一一對應：只有能換算成公式2甲－1×（2甲－1），且2甲 − 1是梅森質數的偶數是完全數。以甲＝2為例，22－1＝3為質數，22－1×（22－1）＝2×3＝6為完全數。[1][5][6]

梅森質數與完全數是否無窮盡目前還是未解決的數學問題[2][6]，倫斯特拉－波默朗斯－瓦格斯塔夫猜想的主題便是梅森質數頻率，推斷比x小的梅森質數期望值個數為（eγ/log2）×log log x，其中e是歐拉數，γ是歐拉常數，log是自然對數[7][8][9]。已經發現的完全數都是偶數，但尚未排除存在奇數完全數的可能。已證明奇完全數必滿足某些條件，如不小於101500[10]。

下表列出所有已知梅森質數、完全數及對應指數甲。截至2021年10月共發現51個梅森質數（及對應完全數），最大17個均由互聯網梅森質數大搜索分佈式計算項目發現。[2]新梅森質數是用盧卡斯－萊默檢驗法發現，這種梅森質數質數測試可用於二進制計算機[2]。

數字按從小到大排列，如果新發現比現有結果小的梅森質數則插入中間。序號後面的問號說明尚待驗證。截至2021年10月，互聯網梅森質數大搜索已經計算至甲＝5820萬4879，即第48個梅森質數以前的所有自然數均已驗證。[11]發現時間和發現人均指梅森質數，完全數按歐幾里得－歐拉定理計算。發現人列為「互聯網梅森質數大搜索：姓名」說明此人擁有的設備採用互聯網梅森質數大搜索找到該數。除前八個不超過十位外，後面的結果都非常長，最長的已有數千萬位；下表僅列出前後各六位，中間以省略號表示。

梅森質數與完全數集合

  GIMPS發現的梅森質數

  最小未驗證梅森質數

  梅森猜測的梅森質數

  古代知道的梅森質數

  拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯發現的梅森質數

  唐納德·吉利斯發現的梅森質數

  大衛·斯洛文斯基發現的梅森質數

下表列出了所有已知的梅森質數：  A000668

下表列出了所有已知的梅森質數指數：  A000043

序 甲 梅森質數 梅森質數位數 對應完全數 完全數位數 發現時間 發現人 發現方法 參考[12]
1 2 3 1 6 1 古代[注 1] 古希臘數學家已經知曉 人手計算 [13][14][15]
2 3 7 1 28 2 [13][14][15]
3 5 31 2 496 3 [13][14][15]
4 7 127 3 8128 4 [13][14][15]
5 13 8191 4 33550336 8 約1456年[注 2] 不明[注 3] 試除法 [14][15]
6 17 131071 6 8589869056 10 1588年[注 2] 皮特羅·卡塔爾迪 [2][18]
7 19 524287 6 137438691328 12 [2][18]
8 31 21億4748萬3647 10 230584……952128 19 1772年 萊昂哈德·歐拉 [19]
9 61 230京5843兆0092億1369萬3951 19 265845……842176 37 1883年11月 伊萬·波佛辛 盧卡斯數列 [20]
10 89 618970……562111 27 191561……169216 54 1911年6月 拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯 盧卡斯數列 [21]
11 107 162259……288127 33 131640……728128 65 1914年6月 [22]
12 127 170141183460469231731687303715884105727 39 144740……152128 77 1876年1月 愛德華·盧卡斯 盧卡斯數列 [23]
13 521 686479……057151 157 235627……646976 314 1952年1月 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 [24]
14 607 531137……728127 183 141053……328128 366 [24]
15 1279 104079……729087 386 541625……291328 770 1952年6月 [25]
16 2203 147597……771007 664 108925……782528 1327 1952年10月 [26]
17 2281 446087……836351 687 994970……915776 1373 [26]
18 3217 259117……315071 969 335708……525056 1937 1957年9月 漢斯·黎瑟爾 [27]
19 4253 190797……484991 1281 182017……377536 2561 1961年11月 亞歷山大·赫維茨 [28]
20 4423 285542……580607 1332 407672……534528 2663 [28]
21 9689 478220……754111 2917 114347……577216 5834 1963年5月 唐納德·吉利斯 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 [29]
22 9941 346088……463551 2993 598885……496576 5985 [29]
23 11213 281411……392191 3376 395961……086336 6751 1963年6月 [29]
24 19937 431542……041471 6002 931144……942656 12003 1971年3月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 布萊恩特·塔克曼 [30]
25 21701 448679……882751 6533 100656……605376 13066 1978年10月 藍登·克特·諾爾、勞拉·尼克爾 [31]
26 23209 402874……264511 6987 811537……666816 13973 1979年2月 藍登·克特·諾爾 [31]
27 44497 854509……228671 13395 365093……827456 26790 1979年4月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 哈里·尼爾森、大衛·斯洛文斯基 [32][33]
28 86243 536927……438207 25962 144145……406528 51924 1982年9月 大衛·斯洛文斯基 [34]
29 11萬0503 521928……515007 33265 136204……862528 66530 1988年1月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 沃爾特·科爾奎特、盧克·韋爾什 [35][36]
30 13萬2049 512740……061311 39751 131451……550016 79502 1983年9月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 大衛·斯洛文斯基等人（克雷公司） [37]
31 21萬6091 746093……528447 65050 278327……880128 13萬0100 1985年9月 [38][39]
32 75萬6839 174135……677887 22萬7832 151616……731328 45萬5663 1992年2月 [40]
33 85萬9433 129498……142591 25萬8716 838488……167936 51萬7430 1994年1月 [41]
34 125萬7787 412245……366527 37萬8632 849732……704128 75萬7263 1996年9月 [42][43]
35 139萬8269 814717……315711 42萬0921 331882……375616 84萬1842 1996年11月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 互聯網梅森質數大搜索：喬爾·阿蒙古德 [44]
36 297萬6221 623340……201151 89萬5932 194276……462976 179萬1864 1997年8月 互聯網梅森質數大搜索：戈登·斯彭斯 [45]
37 302萬1377 127411……694271 90萬9526 811686……457856 181萬9050 1998年1月 互聯網梅森質數大搜索：羅蘭·克拉克森 [46]
38 697萬2593 437075……193791 209萬8960 955176……572736 419萬7919 1999年6月 互聯網梅森質數大搜索：納揚·哈吉拉特瓦拉 [47]
39 1346萬6917 924947……259071 405萬3946 427764……021056 810萬7892 2001年11月 互聯網梅森質數大搜索：米高·卡梅隆 [48]
40 2099萬6011 125976……682047 632萬0430 793508……896128 1264萬0858 2003年11月 互聯網梅森質數大搜索：米高·謝弗 [49]
41 2403萬6583 299410……969407 723萬5733 448233……950528 1447萬1465 2004年5月 互聯網梅森質數大搜索：喬希·芬德利 [50]
42 2596萬4951 122164……077247 781萬6230 746209……088128 1563萬2458 2005年2月 互聯網梅森質數大搜索：馬丁·諾瓦克 [51]
43 3040萬2457 315416……943871 915萬2052 497437……704256 1830萬4103 2005年12月 互聯網梅森質數大搜索：柯蒂斯·庫珀、史蒂文·布恩 [52]
44 3258萬2657 124575……967871 980萬8358 775946……120256 1961萬6714 2006年9月 [53]
45 3715萬6667 202254……220927 1118萬5272 204534……480128 2237萬0543 2008年9月 互聯網梅森質數大搜索：漢斯－米高·埃爾維尼奇 [54]
46 4264萬3801 169873……314751 1283萬7064 144285……253376 2567萬4127 2009年6月 互聯網梅森質數大搜索：奧德·麥格納·斯特林莫 [55]
47 43112609 316470……152511 1297萬8189 500767……378816 2595萬6377 2008年8月 互聯網梅森質數大搜索：埃德森·史密斯 [54][56]
48 5788萬5161 581887……285951 1742萬5170 169296……130176 3485萬0340 2013年1月 互聯網梅森質數大搜索：柯蒂斯·庫珀 [57][58]
不適用 6868萬9253 最低未驗證里程碑（截至西元2024年6月23日）[注 4]
49？ 7420萬7281 300376……436351 2233萬8618 451129……315776 4467萬7235 2016年1月 互聯網梅森質數大搜索：柯蒂斯·庫珀 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 [59][60]
50？ 7723萬2917 467333……179071 2324萬9425 109200……301056 4649萬8850 2017年12月 互聯網梅森質數大搜索：喬納森·佩斯 [61][62]
51？ 8258萬9933 148894……902591 2486萬2048 110847……207936 4972萬4095 2018年12月 互聯網梅森質數大搜索：帕特里克·拉羅什 [63][64]
不適用 1億1748萬5899 最低未測試里程碑（截至西元2024年6月23日）[注 4]

註釋

  1. ^ 尼科馬庫斯100年左右記下前四個完全數，歐幾里得的《幾何原本》便有完全數、梅森質數的定義和實例，但具體發現年代已不可考。
  2. ^ 2.0 2.1 伊斯蘭數學家伊斯梅爾·伊本·易卜拉欣·伊本·費盧斯等人可能比歐洲人更早發現第五到第七個完全數[16]。
  3. ^ 手稿註明年份1456至1461但沒有署名，現存巴伐利亞國立圖書館，編碼「Clm 14908」[14][17]。
  4. ^ 4.0 4.1 截至2021年10月[11]。

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 Stillwell, John. Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer Science+Business Media. 2010: 40 [2021-11-01]. ISBN 978-1-4419-6052-8. （原始內容存檔於2021-10-13）. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Caldwell, Chris K. Mersenne Primes: History, Theorems and Lists. PrimePages. [2021-10-27]. （原始內容存檔於2021-10-27）. 
  3. ^ Caldwell, Chris K. If 2n-1 is prime, then so is n. PrimePages. [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-27）. 
  4. ^ Prielipp, Robert W. Perfect Numbers, Abundant Numbers, and Deficient Numbers. The Mathematics Teacher. 1970, 63 (8): 692–696. JSTOR 27958492. doi:10.5951/MT.63.8.0692 –透過JSTOR. 
  5. ^ Caldwell, Chris K. Characterizing all even perfect numbers. PrimePages. [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-27）. 
  6. ^ 6.0 6.1 Crilly, Tony. Perfect numbers. 50 mathematical ideas you really need to know. Quercus Publishing. 2007 [2021-11-01]. ISBN 978-1-84724-008-8. （原始內容存檔於2021-10-13）. 
  7. ^ Caldwell, Chris K. Heuristics Model for the Distribution of Mersennes. PrimePages. [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-19）. 
  8. ^ Wagstaff, Samuel S. Divisors of Mersenne numbers. Mathematics of Computation. 1983-01, 40 (161): 385. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X. 
  9. ^ Pomerance, Carl. Recent developments in primality testing. The Mathematical Intelligencer. 1981-09, 3 (3): 97–105. ISSN 0343-6993. S2CID 121750836. doi:10.1007/BF03022861. 
  10. ^ Ochem, Pascal; Rao, Michaël. Odd perfect numbers are greater than 101500. Mathematics of Computation. 2012-01-30, 81 (279): 1869–1877. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. 
  11. ^ 11.0 11.1 GIMPS Milestones Report. Great Internet Mersenne Prime Search. [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-31）. 
  12. ^ 以下文獻可以找到所有結果：
  13. ^ 13.0 13.1 13.2 13.3 Joyce, David E. Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36. Department of Mathematics and Computer Science. Worcester, MA: Clark University. [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-06-17）. 
  14. ^ 14.0 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 Dickson, Leonard Eugene. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Carnegie Institution of Washington. 1919: 4–6 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-11-04）. 
  15. ^ 15.0 15.1 15.2 15.3 15.4 Smith, David Eugene. History of Mathematics: Volume II. Dover. 1925: 21 [2021-11-01]. ISBN 978-0-486-20430-7. 
  16. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. Perfect numbers. MacTutor History of Mathematics archive. [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-23）. 
  17. ^ 'Calendarium ecclesiasticum – BSB Clm 14908'. Bavarian State Library. [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-28）. 
  18. ^ 18.0 18.1 Cataldi, Pietro Antonio. Trattato de' numeri perfetti di Pietro Antonio Cataldo. Presso di Heredi di Giouanni Rossi. 1603 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-11-04）. 
  19. ^ Euler, Leonhard. Extrait d'un lettre de M. Euler le pere à M. Bernoulli concernant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771, p 318. Nouveaux Mémoires de l'académie royale des sciences de Berlin. 1772, 1772: 35–36 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2020-10-15） –透過Euler Archive. 
  20. ^ Sur un nouveau nombre premier, annoncé par le père Pervouchine. Bulletin de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg. 1887-01-27, 31: 532–533 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-13） –透過Biodiversity Heritage Library. 
  21. ^ Powers, R. E. The Tenth Perfect Number. The American Mathematical Monthly. 1911-11, 18 (11): 195–197. JSTOR 2972574. doi:10.2307/2972574. 
  22. ^ Records of Proceedings at Meetings. Proceedings of the London Mathematical Society. 1914, s2–13 (1): iv–xl. doi:10.1112/plms/s2-13.1.1-s. 
  23. ^ Lucas, Édouard. Note sur l'application des séries récurrentes à la recherche de la loi de distribution des nombres premier. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 1876, 82: 165–167 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-13）. 
  24. ^ 24.0 24.1 Notes. Mathematics of Computation. 1952-01, 6 (37): 58–61. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-52-99405-2. 
  25. ^ Notes. Mathematics of Computation. 1952-07, 6 (39): 204. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-52-99389-7. 
  26. ^ 26.0 26.1 Notes. Mathematics of Computation. 1953-01, 7 (41): 67–72. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-53-99372-7. 
  27. ^ Riesel, Hans. A New Mersenne Prime. Mathematics of Computation. 1958-01, 12 (61): 60. doi:10.1090/S0025-5718-58-99282-2  . 
  28. ^ 28.0 28.1 Hurwitz, Alexander. New Mersenne primes. Mathematics of Computation. 1962-04, 16 (78): 249. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-1962-0146162-X. 
  29. ^ 29.0 29.1 29.2 Gillies, Donald B. Three new Mersenne primes and a statistical theory. Mathematics of Computation. 1964-01, 18 (85): 93–97. JSTOR 2003409. doi:10.1090/S0025-5718-1964-0159774-6  . 
  30. ^ Tuckerman, Bryant. The 24th Mersenne Prime. Proceedings of the National Academy of Sciences. 1971-10, 68 (10): 2319–2320. Bibcode:1971PNAS...68.2319T. PMC 389411  . PMID 16591945. doi:10.1073/pnas.68.10.2319  . 
  31. ^ 31.0 31.1 Noll, Landon Curt; Nickel, Laura. The 25th and 26th Mersenne primes. Mathematics of Computation. 1980-10, 35 (152): 1387. JSTOR 2006405. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583517-4  . 
  32. ^ Slowinski, David. Searching for the 27th Mersenne prime. Journal of Recreational Mathematics. 1978, 11 (4): 258–261. 
  33. ^ Science Watch: A New Prime Number. The New York Times. 1979-06-05 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-11-02）. 
  34. ^ Announcements. The Mathematical Intelligencer. 1983-03, 5 (1): 60. ISSN 0343-6993. doi:10.1007/BF03023507. 
  35. ^ Peterson, I. Priming for a Lucky Strike. Science News. 1988-02-06, 133 (6): 85. JSTOR 3972461. doi:10.2307/3972461. 
  36. ^ Colquitt, W. N.; Welsh, L. A new Mersenne prime. Mathematics of Computation. 1991-04, 56 (194): 867. Bibcode:1991MaCom..56..867C. JSTOR 2008415. doi:10.1090/S0025-5718-1991-1068823-9  . 
  37. ^ Number is largest prime found yet.. The Globe and Mail. 1983-09-24.  
  38. ^ Peterson, I. Prime Time for Supercomputers. Science News. 1985-09-28, 128 (13): 199. JSTOR 3970245. doi:10.2307/3970245. 
  39. ^ Dembart, Lee. Supercomputer Comes Up With Whopping Prime Number. Los Angeles Times. 1985-09-17 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-11-02）. 
  40. ^ Maddox, John. The endless search for primality. Nature. 1992-03-26, 356 (6367): 283 [2021-11-01]. Bibcode:1992Natur.356..283M. ISSN 1476-4687. S2CID 4327045. doi:10.1038/356283a0. （原始內容存檔於2021-10-29）. 
  41. ^ Largest Known Prime Number Discovered on Cray Research Supercomputer. PR Newswire. 1994-01-10 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-11-04） –透過Gale. 
  42. ^ Caldwell, Chris K. A Prime of Record Size! 21257787-1. PrimePages. [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-05）. 
  43. ^ Gillmor, Dan. Crunching numbers: Researchers come up with prime math discovery. Knight Ridder. 1996-09-03 [2021-11-01] –透過Gale. 
  44. ^ GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime, 21,398,269-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 1996-11-12 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-17）. 
  45. ^ GIMPS Discovers 36th Mersenne Prime, 22,976,221-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 1997-09-01 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2020-06-07）. 
  46. ^ GIMPS Discovers 37th Mersenne Prime, 23,021,377-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 1998-02-02 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2020-06-07）. 
  47. ^ GIMPS Discovers 38th Mersenne Prime 26,972,593-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 1999-06-30 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2020-06-07）. 
  48. ^ GIMPS Discovers 39th Mersenne Prime, 213,466,917-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2001-12-06 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2020-06-07）. 
  49. ^ GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 220,996,011-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2003-02-02 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2020-06-07）. 
  50. ^ GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 224,036,583-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2004-05-28 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-01-29）. 
  51. ^ GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 225,964,951-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2005-02-27 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-03-14）. 
  52. ^ GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 230,402,457-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2005-12-24 [2021-11-01]. （原始內容存檔於14 March 2021）. 
  53. ^ GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 232,582,657-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2006-09-11 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-17）. 
  54. ^ 54.0 54.1 GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 243,112,609-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2008-09-15 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-05）. 
  55. ^ GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime. Great Internet Mersenne Prime Search. 2009-04-12 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-06）. 
  56. ^ Maugh, Thomas H. Rare prime number found. Los Angeles Times. 2008-09-27 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-29）. 
  57. ^ GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 257,885,161-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2013-02-05 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-17）. 
  58. ^ Yirka, Bob. University professor discovers largest prime number to date. phys.org. 2013-02-06 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-29）. 
  59. ^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1. Great Internet Mersenne Prime Search. 2016-01-19 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-05）. 
  60. ^ Largest known prime number discovered in Missouri -GB. BBC News. 2016-01-20 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-08-21）. 
  61. ^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1. Great Internet Mersenne Prime Search. 2018-01-03 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-17）. 
  62. ^ Lamb, Evelyn. Why You Should Care About a Prime Number That's 23,249,425 Digits Long. Slate Magazine. 2018-01-04 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-27）. 
  63. ^ GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1. Great Internet Mersenne Prime Search. 2018-12-21 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-10-17）. 
  64. ^ Palca, Joe. The World Has A New Largest-Known Prime Number. NPR. 2018-12-21 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2021-07-30）. 

外部連結

取自 "https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=梅森素数与完全数集合&oldid=84165905"