橢圓型偏微分方程

橢圓型偏微分方程（英語：Elliptic partial differential equation）是一類二階線性偏微分方程，形式為：

Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0\,

並滿足

B^{2}-AC<0.\

其中 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , and $G$ 是 $x$ 和 $y$ 的函數， $u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}$ , $u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}$ ， $u_{xx},u_{y},u_{yy}$ 的定義也類似

其名稱是源自橢圓形的方程式。

最簡單的橢圓型偏微分方程是拉普拉斯方程， $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$ ，以及泊松方程， $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).$ 。其他所有的雙變數橢圓型偏微分方程都是這兩種方式的擴展，而且一定可以透過變數變換^[1]^[2]，轉換為以下的標準形。

u_{xx}+u_{yy}+{\text{  (lower-order terms)}}=0

參見

參考文獻

^ Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0-521-84886-2.
^ Zauderer, Erich. Partial Differential Equations of Applied Mathematics. New York: John Wiley&Sons. 1989. ISBN 0-471-61298-7.

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[pinchover-1] Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0-521-84886-2.

[Zauderer-2] Zauderer, Erich. Partial Differential Equations of Applied Mathematics. New York: John Wiley&Sons. 1989. ISBN 0-471-61298-7.

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