理查德悖論

理查茲悖論是一個不真正自相矛盾的數學悖論。1905年法國數學家儒略·理查德首次描寫了這個悖論。今天它被用來顯示仔細區分數學與元數學的重要性。

悖論

考慮一個能夠用來定義整數的算術特徵的語言，比如漢語。比如「第一個自然數」定義一個數字，1，是第一個自然數。「只能被一以及它自己整除」定義該數字是一個質數。（顯然有些特徵不能被明確地定義，因此每個引導系統從某些公理開始。但是在這裏我們假設「兩個整數的和依然是一個整數」之類的公理是已知的。）所有這些定義的數量是無窮大的，但是每個定義都是由有限多的詞以及有限多的字組成的。因此我們可以把這些定義首先按照其字數，然後按照其字典順序定義排列起來。

我們將每個定義映射到一組基數上，並且讓排在最前面的定義映射到1上，第二前面的定義映射到2上，等等。因為每個定義都有一個號碼。有可能偏巧正好這個號碼與這個定義相符合。比如「只能被一以及他自己整除」有11個字，而這個定義的號碼恰好是11。而且11本身也只能被1和它自己整除，因此該定義的號碼具有該定義的特徵。但是這不一定總是正確的。比如假如「第一個自然數」的號碼為4，那麼它的號碼與它定義的特徵不同。這樣的號碼與特徵不同的定義被稱為是理查茲性的。也就是說一個理查茲性的數字所編號的定義不適用於該數字本身。

但是因為理查茲性本身是一個整數的特徵，因此它也在被列舉的特徵之內。因此它本身也有一個號碼$n$。現在這個悖論來了：$n$是理查茲性的嗎？假如$n$是理查茲性的，那麼按照定義它沒有第$n$個定義所描寫的特徵，也就是說$n$不是理查茲性的，這和我們的假設相反。而假設$n$不是理查茲性的，那麼它擁有第$n$個定義所描寫的特徵，也就是說它是理查茲性的，這也和我們的假設相反。因此「$n$是理查茲性的」這個定義即不能是正確的，也不能是錯誤的。

悖論的解決

理查茲悖論並不是真正的悖論。在悖論排列定義時一個關鍵的、但是沒有提到的假設被忽略了。

我們說到列舉整數得着算術特徵，也就是說設計加法、乘法等的特徵。但是後來我們卻在這些加進去了一個關於算術特徵編號的特徵。一個數字是否理查茲性不是我們本來打算列舉的特徵之一，因為這個定義是關於一個描述的字數等等的元數學寫法。

因此要解決這個悖論我們需要區分數學（比如算術）和元數學（比如一個定義的寫法）。

參考資料

• 儒略·理查德：《Les Principes des Mathématiques et le Problème des Ensembles》，發表於1905年的《Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées》