環的局部化

在抽象代數中，局部化是一種在環中形式地添加某些元素的倒數，藉以建構分式的技術；由此可透過張量積構造模的局部化。範疇的局部化過程類似，但此時加入的是態射之反元素，以使得這些態射在局部化以後變為同構。

局部化在環論與代數幾何中佔有根本地位，範疇的局部化則引出導範疇的概念，在高等數學中有眾多應用。

幾何詮釋

「局部化」一詞源出代數幾何。設 $R$ 是一個仿射代數簇 $X$ 的座標環（也就是 $X$ 上的多項式函數），則 $R$ 對其元素 $f$ 的局部化的意義是將 $V(f):=\{x\in X:f(x)=0\}$ 從 $X$ 中挖掉，得到的環 $R_{f}$ 正是 $X-V(f)$ 的座標環；若對極大理想 ${\mathfrak {m}}_{x}:=\{f\in R:f(x)=0\}$ 作局部化，則可以設想為挖去所有的 $V(f)\quad (f(x)\neq 0)$；得到的環 $R_{{\mathfrak {m}}_{x}}$ 體現 $X$ 上的多項式函數在 $x$ 點的局部性質。

藉着將模理解為仿射代數簇上的擬凝聚層，可以類似地詮釋模的局部化；它無非是擬凝聚層在一個點的莖。

環的局部化

在此僅考慮含單位元的環。設 $R$ 為環，$S$ 為 $R$的積性子集（定義：對乘法封閉，並包含單位元的集合）。以下將探討 $R$ 對 $S$ 之局部化。

泛性質

$R$ 對 $S$ 的局部化如果存在，是一個環 $S^{-1}R$（或記作 $R[S^{-1}]$）配上環同態 $R\rightarrow S^{-1}R$，使之滿足以下的泛性質：

對任何環 $T$ 及環同態 $\phi :R\rightarrow T$，若 $S$ 的元素在 $\phi$ 下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 $\psi :S^{-1}R\rightarrow T$，使得 $\phi$ 是 $R\rightarrow S^{-1}R$ 與 $\psi$ 的合成。

此性質可保證局部化 $(S^{-1}R,R\rightarrow S^{-1}R)$ 的唯一性。

交換環的情形

當交換環 $R$ 為整環時，局部化的構造相當容易。若 $0\in S$，則 $S^{-1}R$ 必然是零環；若不然，我們可以在 $R$ 的分式環 $K$ 中構造局部化：取 $S^{-1}R\subset K$ 為形如 ${\frac {r}{s}}\quad (r\in R,s\in S)$ 的元素即可。

對於一般的交換環，我們必須推廣分式環的構造；在此須注意到：由於 $S$ 中可能有零因子，我們不能魯莽地通分一個分式。構造方式如下：

在集合 $R\times S$ 上定義下述等價關係 $\sim$：

$(r,s)\sim (r',s')\iff$ 存在 $t\in S$ 使得 $t(rs'-r's)=0$

等價類 $[r,s]$ 可以想成「分式」 $r/s$，藉此類比，在商集 $(R\times S)/\sim$ 上定義加法與乘法為：

$[r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss']$

$[r,s][r',s']=[rr',ss']$

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 $R\rightarrow (R\times S)/\sim$，定義為 $r\mapsto [r,1]$。於是可定義 $S^{-1}R:=(R\times S)/\sim$，再 配上上述環運算與同態。在實踐上，我們常逕將 $S^{-1}R$ 裏的元素寫作分式 $r/s$。

交換代數與代數幾何中經常考慮兩種局部化：

• 固定 $f\in R$，取 $S:=\{f^{n}:n\geq 0\}$。在交換環譜中，對這類 $S$ 的局部化構成 $\mathrm {Spec} (R)$ 的基本開集（$\mathrm {Spec} (R)$ 表 $R$ 的所有質理想構成的集合）。這種局部化常記作 $R_{f}$。
• 固定質理想 ${\mathfrak {p}}\subset R$，取 $S:=R-{\mathfrak {p}}$，此時也稱作對質理想 ${\mathfrak {p}}$ 的局部化。這種局部化常記作 $R_{\mathfrak {p}}$。

以下是 $S^{-1}R$ 的一些環論性質。

• $S^{-1}R=(0)$ 當且僅當 $0\in S$。
• 環同態 $R\rightarrow S^{-1}R$ 是單射，當且僅當 $S$ 中不含零因子。
• 同態 $R\rightarrow S^{-1}R$ 下的逆像給出下列一一對應：

$\mathrm {Spec} (S^{-1}R)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R):{\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset \}$

一個重要的特例是取 $S=R-{\mathfrak {p}}$，可知 $R_{\mathfrak {p}}$ 中的質理想一一對應至 $R$ 中包含於 ${\mathfrak {p}}$ 的質理想，因此 $R_{\mathfrak {p}}$ 是局部環。

非交換環的情形

非交換環的局部化較困難，並非對所有積性子集 $S$ 都有局部化。充分條件之一是歐爾條件，請參閱條目歐爾定理。

其應用之一是用於微分算子環。例如它可以解釋作為一個微分算子 $D$ 抽象地添加逆算子 $D^{-1}$；微局部分析中運用了這類構造。

模的局部化

設 $R$ 為含單位元的交換環，$S$ 是積性子集，而 $M$ 是個 $R$-模。模的局部化與交換環類似，寫作 $S^{-1}M$ 或 $M[S^{-1}]$。我們依然要求存在模同態 $M\rightarrow S^{-1}M$ 及以下的泛性質（此泛性質蘊含唯一性）：

對任何 $S^{-1}R$-模 $N$ 及 $R$-模同態 $\phi :M\rightarrow N$，存在唯一的 $S^{-1}R$-模同態 $\psi :S^{-1}M\rightarrow N$，使得 $\phi$ 是 $M\rightarrow S^{-1}M$ 與 $\psi$ 的合成。

事實上，可以用張量積構造模的局部化：

$S^{-1}M:=M\otimes _{R}S^{-1}R$

這是一個正合函子，它將單射映為單射。亦即：$S^{-1}R$ 是平坦的 $R$-模。利用張量積與環的局部化的泛性質，可以形式地導出上述構造確實滿足局部化的要求。

此外，也可以仿造交換環的局部化，用分式 $\{m/s:m\in M,s\in S\}$ 直接構造 $S^{-1}M$，分式間的等價與代數運算類似交換環的情形。

範疇的局部化

範疇的局部化的意義在將一族態射之逆態射加入範疇中，使得這些態射成為同構。這在形式上近於環的局部化，也能使先前不同構的對象在局部化後變為同構。例如，在同倫理論中有許多連續映射在同倫的意義下可逆，藉着將這些映射局部化，同倫等價的空間可被視為彼此同構。局部化範疇裏的操作也稱作分式運算，相關技術細節請見文獻中 Gabriel-Zisman 或 Weibel 的著作。

一些例子

1. 塞爾提議在模掉某類阿貝爾群 ${\mathcal {C}}$ 的同倫範疇裏操作，這意謂若群 $A,B$ 滿足 $A/B\in {\mathcal {C}}$，則視之為同構的。稍後 Dennis Sullivan 引進一個大膽的想法：改在空間的局部化裏操作。如此將影響底層的拓撲空間。
2. 設 $R$ 的克魯爾維數至少是 2，此時若兩個 $R$-模 $M\supset N$ 滿足 $M/N$ 的支撐集的餘維至少是 2，則可視之為偽同構的。岩澤理論大大利用了這個想法。
3. 在同調代數中，我們藉着加入擬同構之逆而得到導範疇。
4. 在阿貝爾簇的理論中，我們常等同兩個同源的阿貝爾簇，並將同源映射視為同構。此「至多差一個同源」的範疇是局部化較簡單的例子，實質上不外是將 $\mathrm {Hom} (X,Y)$ 代以 $\mathrm {Hom} (X,Y)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$。

集合論的問題

一般而言，給定一個範疇 ${\mathcal {C}}$ 及一族態射 $w$，在探討是否能構造局部化 $w^{-1}{\mathcal {C}}$ 時會遇到以下問題：當 ${\mathcal {C}}$ 是小範疇或 $w$ 是集合時已知可構造局部化，但一般來說則是個棘手的集合論問題；局部化的典型構造可能會造成兩對象間的態射「太多」，換言之可能是個真類。發展模型範疇的動機之一正是要避免這類問題。

文獻

• P. Gabriel and M. Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35.
• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
• Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra (1994), Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1