數學中,自治系統指光滑流形上的動力方程;非自治系統(non-autonomous system)則是
上的光滑纖維叢
上的動力方程。這是非自治力學的情形。
纖維叢
上的r階微分方程由
的節叢
的閉子叢表示。
上的動力方程是微分方程,高階導數可用代數方法求解。
特別地,纖維叢
上的1階動力方程是
上某聯絡
的協變微商的核。給定Q上的叢坐標
和1階節流形
上的適應(adapted)坐標
,1階動力方程為
![{\displaystyle q_{t}^{i}=\Gamma (t,q^{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e51aca3a8b7612d8ac296279c0bf29d651afdd1)
這是哈密頓非自治力學的情形。
上的2階動力方程
![{\displaystyle q_{tt}^{i}=\xi ^{i}(t,q^{j},q_{t}^{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa91216cdb33c65e99fb92610318b3555757d43)
定義為節叢
上的完整(holonomic)聯絡
,此方程也可用仿射節叢
上的聯絡表示。由於規範嵌入
,其等價於Q的切叢
上的測地線方程。非自治力學中的自由運動方程是2階非自治動力方程的例子。
另見
參考文獻
- De Leon, M., Rodrigues, P., Methods of Differential Geometry in Analytical Mechanics (North Holland, 1989).
- Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, 2010) ISBN 981-4313-72-6 ().