高合成數

高合成數（highly composite number）指一類整數，任何比它小的自然數的因子數目均比這個數的因子數目少。這個詞是由斯里尼瓦瑟·拉馬努金所創建。但是讓-皮埃爾·卡汗（英語：Jean-Pierre Kahane）認為柏拉圖已有提出此一概念，柏拉圖認為城市理想的人口數為5040，因為這個數的因子數量多過任何一個比小於它的數^[1]。

以數字6為例，小於6的數字中，因子最多的數是4，有3個因子（1,2,4），而6有4個因子（1,2,3,6），因此6是高合成數。

高合成數的名稱容易讓人誤以為其中都是合成數，其實前二個高合成數1和2都不是合成數。

最小的20個高合成數為：

	1,	2,	4,	6,	12,	24,	36,	48,	60,	120,	180,	240,	360,	720,	840,	1260,	1680,	2520,	5040,	7560,	A002182
正因子個數	1,	2,	3,	4,	6,	8,	9,	10,	12,	16,	18,	20,	24,	30,	32,	36,	40,	48,	60,	64,	A002183

高度合成數有無限個。為了證明這點，可用反證法。假設 $n$ 是最大的高度合成數。顯然 $2n$ 比 $n$ 有更多因子，所以 $2n$ 才是最大的高度合成數，矛盾，故高度合成數有無限個。

大於6的高度合成數亦是豐數。

這些數常見於量度系統，在工程設計亦很常用，因為它們在分數計算時很方便。

若 Q(x)表示所有小於或等於x的高度合成數的數目，則存在兩個均大於1的常數 $a,b$ ，使得∶

\ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b}\,.

參考資料

^ Kahane, Jean-Pierre, Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society, February 2015, 62 (2): 136–140 . Kahane 引用柏拉圖的《法律篇》 771c.

外部的連結

[1] Kahane, Jean-Pierre, Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society, February 2015, 62 (2): 136–140 . Kahane 引用柏拉圖的《法律篇》 771c.

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高合成數

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