中位數

統計學上，中位數（英語：Median），又稱中央值^[1]、中值，是一個樣本、種群或概率分佈中之一個數值，其可將數值集合劃分爲數量相等的上下兩部分。對於有限的數集，可以通過把所有觀察值高低排序後找出正中間的一個作爲中位數。如果觀察值有偶數個，則中位數不唯一，通常取最中間的兩個數值的平均數作爲中位數。

一個數集中最多有一半的數值小於中位數，也最多有一半的數值大於中位數。如果大於和小於中位數的數值個數均少於一半，那麽數集中必有若干值等同於中位數。

設連續隨機變量X的分佈函數為F(X)，那麼滿足條件P(X≤m)=F(m)=1/2的數稱為X或分佈F的中位數。

對於一組有限個數的數據來說，其中位數是這樣的一種數：這群數據的一半的數據比它大，而另外一半數據比它小。

計算有限個數的數據的中位數的方法是：把所有的同類數據按照大小的順序排列。如果數據的個數是奇數，則中間那個數據就是這群數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間那2個數據的算術平均值就是這群數據的中位數。

公式

實數 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 按大小順序（順序，降序皆可）排列為 $x'_{1},x'_{2},\dots ,x'_{n}$ 、

實數數列 $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ 的中位數 $\mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)$ 為

\mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)={\begin{cases}x'_{\frac {n+1}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd number.}}\\{\frac {1}{2}}(x'_{\frac {n}{2}}+x'_{{\frac {n}{2}}+1}),&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even number.}}\end{cases}}

其中 odd number 表示奇數，even number 表示偶數。

中位數特性

中位數在敘述統計學上和平均數、眾數並列為數據的集中趨勢。三者的位置排序亦對應着偏度的正負偏態意義。一般而言，平均數是最常被使用做為數據的集中趨勢，但如果有極端值存在，平均數的代表性降低，也就所謂的「男人女人平均一顆睪丸」的問題，因此在有極端值的狀況下，中位數是比較好的集中趨勢代表。因此，在各國的每人所得分佈上，通常以中位數代表集中趨勢，而非平均數^[2]。

中位數通常出現在敘述統計學和非參數統計，有母數的統計分析很少提及。中位數為集中趨勢時，對應的離散趨勢系數為平均絕對離差（Mean absolute deviation, MAD）或是四位位距(Q3 - Q1)。不過如果論及總體中位數的統計量時，仍需根據統計分析對抽樣分配的要求，尋找總體中位數統計量的期望值與方差，再依照點估計的充分、無偏、效率、一致性進行討論。而總體中位數的統計量通常是樣本中位數。因此，樣本中位數的期望值與方差就值得被討論，進行基礎研究。

正態分配下的中位數

正態分配下的平均數、中位數、眾數都是同一個位置。目前最為世人熟知的是平均數的抽樣分配會是正態分配，期望值為總體平均數 $\mu$ 且方差為總體方差( $\sigma _{2}$ )。統計學對正態分配的總體平均數統計量說明甚多，並發展完善。那麼中位數可基於概率分配模擬器和數值分析發展，在n個獨立隨機變量來自正態分配可生成n個隨機樣本，則E(樣本中位數)= $\mu$ 且Var(樣本中位數)= $\sigma _{2}k(n)$ ，其中，k(n)受到樣本個數(n)影響。當樣本個數介於2至200時，兩者的關係不明顯，但可計算出樣本個數和k(n)的關聯表^[3]。

k(n)和n的對應表
n	k(n)	n	k(n)	n	k(n)
2	0.500267128	70	0.021985179	138	0.011271806
3	0.448703237	71	0.021403637	139	0.011269587
4	0.298172500	72	0.021393271	140	0.011109049
5	0.286770401	73	0.020840845	141	0.011111745
6	0.214713620	74	0.020830427	142	0.010959968
7	0.210476952	75	0.020295864	143	0.010962027
8	0.168172011	76	0.020294599	144	0.010810205
9	0.166171644	77	0.019776971	145	0.010809127
10	0.138304145	78	0.019777466	146	0.010661452
11	0.137221972	79	0.019291777	147	0.010659591
12	0.117603985	80	0.019294767	148	0.010513172
13	0.116875871	81	0.018831955	149	0.010523498
14	0.102209683	82	0.018826854	150	0.010377973
15	0.101704592	83	0.018394657	151	0.010379735
16	0.090397468	84	0.018390467	152	0.010244606
17	0.090046842	85	0.017972657	153	0.010247290
18	0.081017991	86	0.017972309	154	0.010109136
19	0.080776427	87	0.017567447	155	0.010114347
20	0.073450103	88	0.017564340	156	0.009986419
21	0.073284584	89	0.017187295	157	0.009984465
22	0.067168338	90	0.017189110	158	0.009862704
23	0.067002164	91	0.016812903	159	0.009858886
24	0.061881619	92	0.016813666	160	0.009735345
25	0.061762647	93	0.016466660	161	0.009736185
26	0.057309720	94	0.016462668	162	0.009617128
27	0.057271174	95	0.016125488	163	0.009619325
28	0.053440064	96	0.016119237	164	0.009501480
29	0.053332370	97	0.015802880	165	0.009502525
30	0.049992614	98	0.015797856	166	0.009389839
31	0.049937448	99	0.015492872	167	0.009388423
32	0.047029351	100	0.015490432	168	0.009279058
33	0.046965211	101	0.015190773	169	0.009277712
34	0.044337988	102	0.015189776	170	0.009169514
35	0.044336558	103	0.014904567	171	0.009169768
36	0.041990927	104	0.014896640	172	0.009061071
37	0.041942218	105	0.014628725	173	0.009060657
38	0.039852927	106	0.014623638	174	0.008961003
39	0.039832458	107	0.014359452	175	0.008957769
40	0.037939073	108	0.014359166	176	0.008860612
41	0.037904745	109	0.014100614	177	0.008859363
42	0.036184274	110	0.014104129	178	0.008762802
43	0.036152192	111	0.013856818	179	0.008760489
44	0.034579591	112	0.013854712	180	0.008665028
45	0.034577569	113	0.013609600	181	0.008663662
46	0.033133177	114	0.013610680	182	0.008571695
47	0.033118807	115	0.013383360	183	0.008570240
48	0.031791145	116	0.013382329	184	0.008475410
49	0.031783399	117	0.013153728	185	0.008477845
50	0.030548873	118	0.013156167	186	0.008388634
51	0.030533811	119	0.012938560	187	0.008384818
52	0.029411882	120	0.012939455	188	0.008300454
53	0.029402885	121	0.012729706	189	0.008300175
54	0.028347691	122	0.012731381	190	0.008214157
55	0.028342062	123	0.012533040	191	0.008211878
56	0.027348747	124	0.012525181	192	0.008130539
57	0.027350473	125	0.012333899	193	0.008128310
58	0.026442809	126	0.012334408	194	0.008045347
59	0.026436289	127	0.012141084	195	0.008041810
60	0.025573242	128	0.012138522	196	0.007964784
61	0.025575279	129	0.011964057	197	0.007961234
62	0.024780610	130	0.011961887	198	0.007882679
63	0.024751923	131	0.011782874	199	0.007882009
64	0.024005574	132	0.011779941	200	0.007806200
65	0.024006688	133	0.011604216	201	0.007801090
66	0.023304209	134	0.011600908	202	0.007729016
67	0.023287460	135	0.011433315	203	0.007728333
68	0.022616908	136	0.011438587	204	0.007654504
69	0.022624425	137	0.011271806	205	0.007652196

如果樣本個數超過200，但不超過1000時，兩者有明顯的關係，並且受到樣本個數是否為奇數或偶數影響。此時可使用迴歸分析尋找兩者的關係。

1. 樣本個數為偶數，迴歸式為k(n) = 0.0000148965 + 1.5599936862 / n。

2. 樣本個數為奇數，迴歸式為k(n) = 0.0000084608 + 1.5674001064 / n。

由此可得到樣本中位數的方差和總體正態分配的方差形成穩定的對應關係^[4]。

參考文獻

^ median - 中央值；中位數；正中的 - 國家教育研究院雙語詞彙. 國家教育研究院. [2022-04-21]. （原始內容存檔於2018-11-24）（中文（臺灣））.
^ 台北市政府主計處，台北市家庭所得概況，民國106年。(連結（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）)
^ (PDF) Source code of how to run sample median's variance. ResearchGate. [2021-10-21]. doi:10.13140/rg.2.2.16784.23041 （英語）.
^ (PDF) The Relationships between Variances of Normal Distribution and Sample Median: Sample size from 200 to 1000. ResearchGate. [2021-10-31]. doi:10.13140/rg.2.2.12462.13124/1 （英語）.

外部連結

Calculating the median
A problem involving the mean, the median, and the mode.（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
mathworld: Statistical Median（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

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[1] - 中央值；中位數；正中的 - 國家教育研究院雙語詞彙. 國家教育研究院. [2022-04-21]. （原始內容存檔於2018-11-24）（中文（臺灣））.

[2] 台北市政府主計處，台北市家庭所得概況，民國106年。(連結（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）)

[3] (PDF) Source code of how to run sample median's variance. ResearchGate. [2021-10-21]. doi:10.13140/rg.2.2.16784.23041 （英語）.

[4] (PDF) The Relationships between Variances of Normal Distribution and Sample Median: Sample size from 200 to 1000. ResearchGate. [2021-10-31]. doi:10.13140/rg.2.2.12462.13124/1 （英語）.

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