偽球面

偽球面（英語：pseudosphere，又譯擬球面）是幾何學中高斯曲率恆為負的平面。一半徑$R$的偽球面，是$\mathbb {R} ^{3}$中每點高斯曲率均為$\textstyle -1/R^{2}$的平面。偽球面這個名稱是類比半徑$R$的球面（曲率$\textstyle 1/R^{2}$的平面），由貝爾特拉米於1868年雙曲幾何模型的論文提出。 其為曳物線繞其漸近線的旋轉曲面。

旋轉跟蹤曲面（Tractricoid）

定義

對於$xOz$平面上的曳物線，其參數方程為$(x,z)=(t-\tanh(t),\mathrm {sech} (t)),0\leq t<\infty$.

當其繞z軸旋轉一圈時，根據旋轉曲面的一般參數方程，可得到曲面標準參數方程：

$\left\{{\begin{matrix}x=(t-\tanh(t))\cdot \cos(\theta ),\\y=(t-\tanh(t))\cdot \sin(\theta ),\\z=\mathrm {sech} (t).\end{matrix}}\right.$ 其中 $0\leq \theta \leq 2\pi ,0\leq t<\infty$.

該方程即為曳物面方程，又稱偽球面方程。

性質

偽球面是一個奇異空間 (赤道上的點為奇點) 。但在奇點外，它具有恆定的負高斯曲率，因此局部等距於雙曲面。

「偽球」這個名字的產生是因為它是一個有恆定負高斯曲率的二維曲面，和一個球有恆定正高斯曲率恰恰相反。就像球體在每一點上都有一個正曲率的球面幾何一樣，偽球在除奇點每一點上都有一個負曲率的雙曲幾何。

早在1693年，惠更斯(Christiaan Huygens)就發現儘管其旋轉後的範圍是無限的, 但偽球的體積和表面積是有限的。對於給定的偽半徑 R，偽球的表面積是$4\pi R^{2}$，和同半徑·球面相同。