八元數

八元數
八元數
符號
種類	超複代數
單位	形式：; 、、、、、、、 ; 形式：; 1、 i、 j、 k、 l、 il、 jl、 kl
乘法單位元素	或1
主要性質	非交換; 非結合
數字系統
	自然數; 整數; 有理數; 實數; 複數; 四元數; 八元數; 十六元數; 三十二元數;
	閱; 論; 編;

八元數（英語：Octonion）是以實數構建的8維度賦範可除代數，為四元數非結合推廣的超複數，通常記為O或 $\mathbb {O}$ 。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交錯代數的特性，並保有冪結合性。

各式各樣的數

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然數 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小數
 有盡小数
 無盡小数
 循環小數
 有理數 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
實數 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

負數 $\mathbb {R} ^{-}$
整數 $\mathbb {Z}$
負整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二進分數
 規矩數
 無理數
 超越數
 虛數 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整數 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元數
 四元數 $\mathbb {H}$
八元數 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英語：Dual quaternion）
超複數
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定義數
 序數
 超限數
 $p$ 進數
 數學常數

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

也許是因為八元數的乘法不具備結合性，因此它們作為超複數而言受關注的程度較四元數低。儘管如此，八元數仍然與數學中的一些例外結構有關，其中包括例外李群。此外，八元數在諸如弦理論、狹義相對論和量子邏輯（英語：Quantum logic）中也有應用。

歷史

八元數第一次被描述於1843年，於一封約翰·格雷夫斯（英語：John T. Graves）給威廉·盧雲·哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。^[1]^:168後來八元數由阿瑟·凱萊在1845年獨自發表。^[2]格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凱萊發表的時間稍晚一些^[3]。阿瑟·凱萊發表的八元數和約翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凱萊是獨自發現八元數的，^[2]因此八元數又被稱為凱萊數或凱萊代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。^[4]

定義

八元數可以視為實數的八元組。八元數有多種構造方式。以凱萊-迪克森結構為例，八元數可以表達為2個四元數 $P$ 與 $Q$ 的組合，即 $P + Q l$ 或 $p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,$ ，其中，量 $l$ 為其中一個八元數單位並滿足：^[5]

i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,

在這種定義下每一個八元數都是單位八元數 ${1, i, j, k, l, il, jl, kl}$ 的線性組合。也就是說，每一個八元數x都可以寫成^[6]

x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl

其中系數 $x a$ 是實數。這些八元數單位亦滿足：^[5]

i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,

八元數的加法是把對應的系數相加，就像複數和四元數一樣。根據線性，八元數的乘法完全由以下單位八元數的乘數表來決定。^[6]

$\times$	$1$	$i$	$j$	$k$	$l$	$il$	$jl$	$kl$
$1$	$1$	$i$	$j$	$k$	$l$	$il$	$jl$	$kl$
$i$	$i$	$-1$	$k$	$-j$	$il$	$-l$	$-kl$	$jl$
$j$	$j$	$-k$	$-1$	$i$	$jl$	$kl$	$-l$	$-il$
$k$	$k$	$j$	$-i$	$-1$	$kl$	$-jl$	$il$	$-l$
$l$	$l$	$-il$	$-jl$	$-kl$	$-1$	$i$	$j$	$k$
$il$	$il$	$l$	$-kl$	$jl$	$-i$	$-1$	$-k$	$j$
$jl$	$jl$	$kl$	$l$	$-il$	$-j$	$k$	$-1$	$-i$
$kl$	$kl$	$-jl$	$il$	$l$	$-k$	$-j$	$i$	$-1$

一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為 $e a$ 的線性組合，其中 $a =0, 1,..., 7$ ：^[7]

\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},

當中的 $e_{0}$ 為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等，而其平方為實數。也就是說，每個八元數 $x$ 都可以寫成以下形式^[8]：

x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,

^[9]^:5

其中 $x i$ 為單位元素 $e i$ 的系數，且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的系數來完成的，與四元數的加減法類似。乘法則較為複雜。八元數的乘法是對加法的分配，所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算，再次如同四元數一般。每對項的乘積可以通過系數的乘積和單位八元數的乘數表給出^[7]，其乘數表的結構與 ${1, i, j, k, l, il, jl, kl}$ 的模式（ $p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,$ ）類似。這個乘數表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述：^[10]

$e_{i}e_{j}$ ^[11]		$e_{j}$
$e_{i}e_{j}$ ^[11]		$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$
$e_{i}$	$e_{0}$	$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$
	$e_{1}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{5}$	$-e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$
	$e_{2}$	$e_{2}$	$-e_{3}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$-e_{4}$	$-e_{5}$
	$e_{3}$	$e_{3}$	$e_{2}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$-e_{4}$
	$e_{4}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$
	$e_{5}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{3}$	$e_{2}$
	$e_{6}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{2}$	$e_{3}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$
	$e_{7}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{1}$	$-e_{0}$

除了主對角線上以及 $e_{0}$ 作為操作數的行和列的元素之外，乘數表中的大多數非對角元素都是反對稱的，這使得這個乘數表幾乎是一個斜對稱矩陣。

該表可總結如下：^[12]

e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}

其中 $δ ij$ 為克羅內克δ函數（當且僅當 $i = j$ 時為1）、 $ε ijk$ 為完全反對稱張量（英語：completely antisymmetric tensor），且當 $ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365$ 時，值為1。^[9]

然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是 $e_{0}=1$ 八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素 $\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},$ 的符號來獲得。^[13]這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的，很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。

這480個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在7循環（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個7循環有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。一個常見的選擇是使用 $e 1 e 2 = e 4$ 的7循環（1234567）下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的法諾平面，該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表 $e n$ 和 $ijkl$ 格式的矩陣。^[14]

此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為 $1,i,j,k,L,m,n,o$ 。^[15]

凱萊-迪克松構造

一個更加系統的定義八元數的方法，是通過凱萊-迪克松構造。就像四元數可以用一對複數來定義一樣，八元數可以用一對四元數來定義。兩對四元數 $(a,b)$ 和 $(c,d)$ 的乘積定義為：^[8]^:153

(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})

其中 $z^{*}$ 表示四元數 $z$ 的共軛。這個定義與上面給出的定義是等價的。^[16]

法諾平面記憶

八元數的乘積的簡單記憶。

一個用來記憶八元數的乘積的方便辦法，由右面的圖給出。這個圖中有七個點和七條直線（經過i、j和k的圓也視為一條直線），稱為法諾平面（英語：Fano plane）。^[17]這些直線是有向的。七個點對應於 $\mathbb {O}$ 的七個標準基元素。每一對不同的點位於唯一的一條直線上，而每一條直線正好通過三個點。^[18]

設 $(a, b, c)$ 為位於一條給定的直線上的三個有序點，其順序由箭頭的方向指定。那麼，乘法由下式給出：^[18]

ab = c ， ba = - c

以及它們的循環置換（英語：Cyclic permutation）。這些規則^[18]

1是乘法單位元素，
對於圖中的每一個點，都有 $e^{2}=-1$

完全定義了八元數的乘法結構。七條直線的每一條都生成了 $\mathbb {O}$ 的一個子代數，與四元數 $\mathbb {H}$ 同構。^[8]^:151-152

共軛、範數和反元素

八元數

x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl

的共軛為：

x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.

當中除了實數項外，其餘項正負號皆相反。因此若將八元數單位表達為 ${e 1, e 2 ... e 7}$ ，則八元數的共軛可以簡化表示為：^[9]^:6

x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7

共軛是 $\mathbb {O}$ 的一個對合，滿足 $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$ （注意次序的變化）。^[16]

x的實數部分定義為 $\mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}$ ，虛數部分定義為 $\mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}$ 。^[16]所有純虛的八元數生成了 $\mathbb {O}$ 的一個七維子空間，記為 $\mathbb {O}$ 。^[8]^:186

八元數x的範數可用與自身共軛的積 $\|x\|^{2}=x^{*}x$ 來定義^[16]：

\|x\|={\sqrt {x^{*}x}}

在這裏，平方根是定義良好的，因為 $x^{*}x=xx^{*}$ 總是非負實數：^{[註 1]}

\|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}

這個範數與 $\mathbb {R} ^{8}$ 上的標準歐幾里得範數是一致的。

$\mathbb {O}$ 上範數的存在，意味着 $\mathbb {O}$ 的所有非零元素都存在反元素。 $x \neq 0$ 的反元素為：^[16]^[9]^:6

x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}

它滿足 $xx^{-1}=x^{-1}x=1$ 。

性質

八元數的乘法既不是交換的：^[9]^:6

ij=-ji\neq ji\,

也不是結合的：^[5]^:41

(ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,

然而，八元數確實滿足結合性的一個較弱形式──交錯性^[9]^:2。這就是說，由任何兩個元素所生成的子代數（英語：Subalgebra）是結合的。^[9]^:3實際上，我們可以證明，由 $\mathbb {O}$ 的任何兩個元素所生成的子代數都與 $\mathbb {R}$ 、 $\mathbb {C}$ 或 $\mathbb {H}$ 同構，它們都是結合的。由於八元數不滿足結合性，因此它們沒有矩陣的表示法，與四元數不一樣。^[9]

八元數確實保留了 $\mathbb {R}$ 、 $\mathbb {C}$ 和 $\mathbb {H}$ 共同擁有的一個重要的性質： $\mathbb {O}$ 上的範數滿足

\|xy\|=\|x\|\|y\|

這意味着八元數形成了一個非結合的賦範可除代數。所有由凱萊-迪克松構造所定義的更高維代數都不滿足這個性質，因為它們都存在零因子。^[19]

這樣，實數體上唯一的賦範可除代數是 $\mathbb {R}$ 、 $\mathbb {C}$ 、 $\mathbb {H}$ 和 $\mathbb {O}$ 。這四個代數也形成了實數體上唯一的交錯的、有限維的可除代數（英語：Division algebra）。^[8]^:155

由於八元數不是結合的，因此 $\mathbb {O}$ 的非零元素不形成一個群。然而，它們形成一個擬群。

自同構

八元數的自同構A，是 $\mathbb {O}$ 的可逆線性轉換，滿足：

A(xy)=A(x)A(y).\,

$\mathbb {O}$ 的所有自同構的集合組成了一個群，稱為 $G 2 （英語： G2 (mathematics) ）$ 。^[21]^[9]群 $G 2$ 是一個單連通、緊緻、14維的實李群。^[22]這個群是例外李群（英語：w:Exceptional Lie group#Exceptional cases）中最小的一個。^[23]

參見

雙曲複數
四元數
十六元數
$Spin(8)$ （英語：Spin(8)）
$PSL(2,7)$ ──法諾平面的自同構群。

註釋

^ 在範數可良好定義的前提下， ${\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R}$ ，且 $x^{*}x>0$ ^[16]，因此可以得到 $x^{*}x=xx^{*}$ 總是非負實數的結論。

參考文獻

^ Sabadini, I. and Shapiro, M. and Sommen, F. Hypercomplex Analysis. Trends in Mathematics. Birkhäuser Basel. 2009 [2022-04-27]. ISBN 9783764398934. LCCN 2008942605. （原始內容存檔於2021-10-26）.
^ ^2.0 ^2.1 Cayley, Arthur, On Jacobi's elliptic functions, in reply to the Rev.; and on quaternions, Philosophical Magazine（英語：Philosophical Magazine）, 1845, 26: 208–211 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645107, （原始內容存檔於2022-04-22） . Appendix reprinted in The Collected Mathematical Papers, Johnson Reprint Co., New York, 1963, p. 127
^ Graves, On a Connection between the General Theory of Normal Couples and the Theory of Complete Quadratic Functions of Two Variables, Phil. Mag., 1845, 26: 315–320 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645136, （原始內容存檔於2015-04-04）
^ Hamilton, Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq., Transactions of the Royal Irish Academy, 1848, 21: 338–341
^ ^5.0 ^5.1 ^5.2 S. V. Ludkovsky. Meta-Invariant Operators over Cayley-Dickson Algebras and Spectra. Advances in Pure Mathematics. 2013, 03 (01): 41–69 [2022-04-22]. ISSN 2160-0368. doi:10.4236/apm.2013.31008. （原始內容存檔於2022-04-27）.
^ ^6.0 ^6.1 State Enterprise National Power Company 「UkrEnergo」, S.I. Klipkov. Some Features of the Matrix Representations of the Octonions. Èlektronnoe modelirovanie. 2019-08-08, 41 (4): 19–34 [2022-04-22]. doi:10.15407/emodel.41.04.019. （原始內容存檔於2022-04-22）.
^ ^7.0 ^7.1 Baez, John C. The Octonions.^[8] p. 150
^ ^8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 ^8.4 ^8.5 ^8.6 ^8.7 Baez, John C. The Octonions. Bulletin of the American Mathematical Society. 2002, 39 (2): 145–205 [2022-04-20]. ISSN 0273-0979. MR 1886087. S2CID 586512. arXiv:math/0105155  . doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. （原始內容存檔於2008-10-09）.
^ ^9.0 ^9.1 ^9.2 ^9.3 ^9.4 ^9.5 ^9.6 ^9.7 ^9.8 A.K.Waldron, G.C.Joshi. Gauging octonion algebra. arXiv preprint hep-th/9211123. 1992 [2022-04-26]. arXiv:hep-th/9211123v1  . doi:10.48550/arXiv.hep-th/9211123. （原始內容存檔於2022-04-22）（英語）. 論文全文 (PDF). [2022-04-27]. （原始內容 (PDF)存檔於2019-10-17）.
^ G Gentili; C Stoppato; DC Struppa; F Vlacci, Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable, Irene Sabadini（英語：Irene Sabadini）; M Shapiro; F Sommen (編), Hypercomplex analysis, Birkhäuser: 168, 2009 [2022-04-20], ISBN 978-3-7643-9892-7, （原始內容存檔於2016-12-04）
^ John Baez. Constructing the Octonions. math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22]. （原始內容存檔於2022-01-13）.
^ L. V. Sabinin; L. Sbitneva; I. P. Shestakov, §17.2 Octonion algebra and its regular bimodule representation, Non-associative algebra and its applications, CRC Press: 235, 2006 [2022-04-20], ISBN 0-8247-2669-3, （原始內容存檔於2016-12-04）
^ 480 varieties of octonion multiplication. tamivox.org. 2015-12-08 [2022-04-22]. （原始內容存檔於2021-05-16）.
^ J. Gregory Moxness. The Comprehensive Split Octonions and their Fano Planes. viXra. 2015.
^ 穆大祿. 三十二元數乘法表. 信陽師范學院學報（自然科學版）. 2017年4月, 第30卷 (第2期) [2022-04-26]. doi:10.3969/j.issn.1003-0972.2017.02.001. （原始內容存檔於2022-04-27）（中文（簡體））. 論文全文 (PDF). [2022-04-27]. （原始內容 (PDF)存檔於2022-04-27）.
^ ^16.0 ^16.1 ^16.2 ^16.3 ^16.4 ^16.5 Baez, John C. The Octonions.^[8] p. 154
^ John Baez. The Fano plane. math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22]. （原始內容存檔於2022-01-13）.
^ ^18.0 ^18.1 ^18.2 Baez, John C. The Octonions.^[8] p. 152
^ Schafer, Richard D., An introduction to non-associative algebras , Dover Publications（英語：Dover Publications）, 1995 [1966], ISBN 0-486-68813-5, Zbl 0145.25601
^ Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . （Review. （原始內容存檔於2016-09-10）. ）
^ Conway & Smith 2003,^[20] Chapter 8.6
^ Agricola, Ilka. Old and new on the exceptional group G₂ (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 2008, 55 (8): 922–929 [2022-04-22]. MR 2441524. （原始內容 (PDF)存檔於2022-01-15）.
^ Adams, J. Frank, Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1996, ISBN 978-0-226-00526-3, MR 1428422

延伸閱讀

Baez, John, The Octonions, Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39: 145–205 [2008-12-01], （原始內容存檔於2008-12-09） . Online HTML version at math.ucr.edu. （原始內容存檔於2008-10-09）.
Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . （Review. （原始內容存檔於2016-09-10）. ）

[19] 在範數可良好定義的前提下， ${\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R}$ ，且 $x^{*}x>0$ ^[16]，因此可以得到 $x^{*}x=xx^{*}$ 總是非負實數的結論。

[sabadini2009hypercomplex-1] Sabadini, I. and Shapiro, M. and Sommen, F. Hypercomplex Analysis. Trends in Mathematics. Birkhäuser Basel. 2009 [2022-04-27]. ISBN 9783764398934. LCCN 2008942605. （原始內容存檔於2021-10-26）.

[Philosophical_Magazine_1845-2] 2.0 ^2.1 Cayley, Arthur, On Jacobi's elliptic functions, in reply to the Rev.; and on quaternions, Philosophical Magazine（英語：Philosophical Magazine）, 1845, 26: 208–211 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645107, （原始內容存檔於2022-04-22） . Appendix reprinted in The Collected Mathematical Papers, Johnson Reprint Co., New York, 1963, p. 127

[3] Graves, On a Connection between the General Theory of Normal Couples and the Theory of Complete Quadratic Functions of Two Variables, Phil. Mag., 1845, 26: 315–320 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645136, （原始內容存檔於2015-04-04）

[4] Hamilton, Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq., Transactions of the Royal Irish Academy, 1848, 21: 338–341

[10.4236/apm.2013.31008-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 S. V. Ludkovsky. Meta-Invariant Operators over Cayley-Dickson Algebras and Spectra. Advances in Pure Mathematics. 2013, 03 (01): 41–69 [2022-04-22]. ISSN 2160-0368. doi:10.4236/apm.2013.31008. （原始內容存檔於2022-04-27）.

[10.15407/emodel.41.04.019-6] 6.0 ^6.1 State Enterprise National Power Company 「UkrEnergo」, S.I. Klipkov. Some Features of the Matrix Representations of the Octonions. Èlektronnoe modelirovanie. 2019-08-08, 41 (4): 19–34 [2022-04-22]. doi:10.15407/emodel.41.04.019. （原始內容存檔於2022-04-22）.

[The_Octonions_p.150-7] 7.0 ^7.1 Baez, John C. The Octonions.^[8] p. 150

[math/0105155-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 ^8.4 ^8.5 ^8.6 ^8.7 Baez, John C. The Octonions. Bulletin of the American Mathematical Society. 2002, 39 (2): 145–205 [2022-04-20]. ISSN 0273-0979. MR 1886087. S2CID 586512. arXiv:math/0105155  . doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. （原始內容存檔於2008-10-09）.

[10.48550/arXiv.hep-th/9211123-9] 9.0 ^9.1 ^9.2 ^9.3 ^9.4 ^9.5 ^9.6 ^9.7 ^9.8 A.K.Waldron, G.C.Joshi. Gauging octonion algebra. arXiv preprint hep-th/9211123. 1992 [2022-04-26]. arXiv:hep-th/9211123v1  . doi:10.48550/arXiv.hep-th/9211123. （原始內容存檔於2022-04-22）（英語）. 論文全文 (PDF). [2022-04-27]. （原始內容 (PDF)存檔於2019-10-17）.

[GSSV-10] G Gentili; C Stoppato; DC Struppa; F Vlacci, Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable, Irene Sabadini（英語：Irene Sabadini）; M Shapiro; F Sommen (編), Hypercomplex analysis, Birkhäuser: 168, 2009 [2022-04-20], ISBN 978-3-7643-9892-7, （原始內容存檔於2016-12-04）

[11] John Baez. Constructing the Octonions. math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22]. （原始內容存檔於2022-01-13）.

[Shestakov-12] L. V. Sabinin; L. Sbitneva; I. P. Shestakov, §17.2 Octonion algebra and its regular bimodule representation, Non-associative algebra and its applications, CRC Press: 235, 2006 [2022-04-20], ISBN 0-8247-2669-3, （原始內容存檔於2016-12-04）

[13] 480 varieties of octonion multiplication. tamivox.org. 2015-12-08 [2022-04-22]. （原始內容存檔於2021-05-16）.

[Moxness2015TheCS-14] J. Gregory Moxness. The Comprehensive Split Octonions and their Fano Planes. viXra. 2015.

[15] 穆大祿. 三十二元數乘法表. 信陽師范學院學報（自然科學版）. 2017年4月, 第30卷 (第2期) [2022-04-26]. doi:10.3969/j.issn.1003-0972.2017.02.001. （原始內容存檔於2022-04-27）（中文（簡體））. 論文全文 (PDF). [2022-04-27]. （原始內容 (PDF)存檔於2022-04-27）.

[The_Octonions_p.154-16] 16.0 ^16.1 ^16.2 ^16.3 ^16.4 ^16.5 Baez, John C. The Octonions.^[8] p. 154

[17] John Baez. The Fano plane. math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22]. （原始內容存檔於2022-01-13）.

[The_Octonions_p.152-18] 18.0 ^18.1 ^18.2 Baez, John C. The Octonions.^[8] p. 152

[Sch66-20] Schafer, Richard D., An introduction to non-associative algebras , Dover Publications（英語：Dover Publications）, 1995 [1966], ISBN 0-486-68813-5, Zbl 0145.25601

[21] Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . （Review. （原始內容存檔於2016-09-10）. ）

[22] Conway & Smith 2003,^[20] Chapter 8.6

[23] Agricola, Ilka. Old and new on the exceptional group G₂ (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 2008, 55 (8): 922–929 [2022-04-22]. MR 2441524. （原始內容 (PDF)存檔於2022-01-15）.

[24] Adams, J. Frank, Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1996, ISBN 978-0-226-00526-3, MR 1428422

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[註 1]

[19]

[21]

[22]

[23]

[20]

八元數
符號	$\mathbb {O}$
種類	超複代數
單位	$e_{n}$ 形式： $e_{0}$ 、 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ 、 $e_{4}$ 、 $e_{5}$ 、 $e_{6}$ 、 $e_{7}$ $ijkl$ 形式： $1$ 、 $i$ 、 $j$ 、 $k$ 、 $l$ 、 $il$ 、 $jl$ 、 $kl$
乘法單位元素	$e_{0}$ 或 $1$
主要性質	非交換非結合
數字系統
$\mathbb {N}$ 自然數 $\mathbb {Z}$ 整數 $\mathbb {Q}$ 有理數 $\mathbb {R}$ 實數 $\mathbb {C}$ 複數 $\mathbb {H}$ 四元數 $\mathbb {O}$ 八元數 $\mathbb {S}$ 十六元數 $\mathbb {T}$ 三十二元數
閱論編