基本單位 (數論)

代數數論基本單位,是數體中代數整數環的生成元(即模單位根),可理解為單位群扭子群是個無限循環群狄利克雷單位定理表明:rank=1的有實二次體,複三次域,完全四元數

隨時代發展,當對rank ≥1*基本單位也被有些作者叫基本單位系,rank=1時的才基本單位,這只是基本單位系的一個系元.[1]

實二次體

實二次體 d無平方因子),如果Δ表示代數數體K的判別式,則基本單位是:

 

其中 (ab) 是下面佩爾方程最小正整數解[2]

 

上面的佩爾方程可通過 連分數展開獲得。這個不定方程現在得出一些結論:

  •  連分數展開是奇週期的。
  • 概率表明Δ如果能整除一個3mod4的同餘的質數,那麽K有為-1的單位概率較大。如d=34就為反例,1990年,Peter Stevenhagen 提出個概率模型,專找反例。特別的,當 Δ < X ,對如果能整除一個3mod4的同餘的質數的D(X),其共軛D(X)有為-1的單位概率為[3]
 

也就是這種特例下有42%反例,至2012年3月,最近對這個猜想的結果[4] 為可有33%~59%的反例。

三次域

如果「K」是只有一個實嵌入複三次域,且在嵌入中基本單位ε賦值滿足|ε| > 1 ,判別式賦值|Δ| ≥ 33,[5] 則:

 

例: 基本單位的  的三次方≈ 56.9, ,判別式= −108 則:

 

腳註

  1. ^ Alaca & Williams 2004,§13.4
  2. ^ Neukirch 1999,Exercise I.7.1
  3. ^ Stevenhagen 1993,Conjecture 1.4
  4. ^ Fouvry & Klüners 2010
  5. ^ Alaca & Williams 2004,Theorem 13.6.1

參考文獻