對偶小波

在數學上,一個對偶小波(英語:dual wavelet)為小波的對偶。一般情形下,在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中,由平方可積函數(square integral function)產生的小波級數(wavelet series)具有對偶級數。然而, 對偶級數一般並不是由平方可積函數本身表示。

定義

給一個平方可積函數  , 定義級數  

 

給整數  .

這種函數稱為R函數(R-function),假如 的線性展延在 上,且假如存在一個正的常數A, B,其中  如下式

 

對於所有雙無限平方累加(bi-infinite square summable)級數  . 在這裏,   代表平方和範數:

 

  代表在  的通常範數(usual norm):

 

由里斯表示定理(Riesz representation theorem),存在一個獨特的對偶基底(dual basis)   如下式

 

 為克羅內克函數(Kronecker delta),而  為在 的內積(inner produce)。確實,這裏存在一個對於平方可積函數 f 表示基底的特殊級數表示:

 

假如這裏存在一個函數   如下式

 

  稱為對偶小波(dual wavelet)或是小波對偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般來說,對於一些R函數(R-function)ψ,對偶不一定存在。在特別情況  中,這個小波稱為正交小波(orthogonal wavelet)。

要舉一個沒有對偶的R函數(R-function)很簡單。讓  為一個正交小波。然後定義  z 為複數.如此一來可以很簡單的表明 ψ 沒有對偶小波。

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文獻

  • Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets (Wavelet Analysis & Its Applications), (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-174584-8