平面曲線

在歐氏空間里，以兩個不平行的向量表示一個平面。因為兩個不平行的向量至少可以確定三個點：向量的起點和兩個終點。一般取相互垂直的向量來表示在此平面內的點。平面內的一系列的點的集合可以組成曲線。

平面曲線包括直線和曲線，其中直線可以理解為曲線的一種特例——其曲率為0。確定平面內的一條直線可以有幾種方式：

1. 平面內的兩個點。
2. 平面內的一點和一個角度（角度指與表示平面的坐標的夾角）。

平面曲線的確定比較複雜，可以是任意的若干點的集合所組成，其表達式沒有統一的形式。但是通常的研究對象並不會複雜到難以表達的情況，可以初略的將平面曲線按照表示其位置的函數的冪次來區分為一次曲線、二次曲線等。

平面曲線的研究手段一般涉及到極值、駐點、切線、法線、曲率等方法。

長度

若一條平面曲線可表達成標準方程$y=f(x)\,$，那麼它的長度就是：

$\int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}$

其中$a\,$、$b\,$為$x\,$的上下限。

若平面曲線可表達成參數方程$\left\{{\begin{matrix}x=x\left(t\right)\\y=y\left(t\right)\end{matrix}}\right.$，那麼它的長度就是：

$\int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}$

其中$\alpha \,$、$\beta \,$為$t\,$的上下限。