在數學 中，賦距空間 （英語：Metric space ）是具有距離這一個概念的集合 ，具體來說，是裝配了一個稱為度量 的函數，用以表示此集合中任兩個成員間的距離。歷史上是由法國 數學家莫里斯·弗雷歇 在1906年於其意大利語 著作《Sur quelques points du calcul fonctionnel 》首次使用[ 1]
賦距空間中最符合人們對於現實直觀理解的為三維歐幾里得空間 。事實上，「度量」的概念即是歐幾里得距離 四個周知的性質之推廣。歐幾里得度量定義了兩點間之距離為連接這兩點的直線 段 之長度。此外，亦存在其他的度量空間，如橢圓幾何 與雙曲幾何 ，而在球體上以角度量測之距離亦為一度量。狹義相對論 使用雙曲幾何的雙曲面模型 ，作為速度 之度量空間。
賦距空間還能導出開集 與閉集 之類的拓撲性質 ，這導致了對更抽象的拓撲空間 之研究。
M
{\displaystyle M}
集合 ，若其裝配了函數
d
:
M
×
M
→
R
{\displaystyle d:M\times M\rightarrow \mathbb {R} }
x
,
y
,
z
∈
M
{\displaystyle x,\,y,\,z\in M}
名稱
內容
同一性
d
(
x
,
y
)
=
0
⟺
x
=
y
{\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}
對稱性
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}
三角不等式
d
(
x
,
z
)
≤
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
z
)
{\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}
則稱
d
{\displaystyle d}
M
{\displaystyle M}
度量 (metric)或是距離函數 ，且稱
(
M
,
d
)
{\displaystyle (M,\,d)}
度量空間 。若依上下文可知道使用的度量為何，通常會省略
d
{\displaystyle d}
M
{\displaystyle M}
雖然大部分的書籍會將「 對任意
x
,
y
∈
M
{\displaystyle x,\,y\in M}
d
(
x
,
y
)
≥
0
{\displaystyle d(x,y)\geq 0}
0
=
d
(
x
,
x
)
≤
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
x
)
=
2
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle 0=d(x,\,x)\leq d(x,\,y)+d(y,\,x)=2d(x,\,y)}
所以本節並沒有把這個性質列入定義。
直觀上，對於任何道路系統與地形，兩個位置間之距離可被定義為連接這些位置的最短路徑的長度，這樣上面的三角不等式正代表距離是最短路徑。
具有由絕對值 給出的距離函數
d
(
x
,
y
)
=
|
y
−
x
|
{\displaystyle d(x,y)=\vert y-x\vert }
實數 集合為完備賦距空間 。具有相關度量的有理數 集合也會形成一個度量空間，但不完備。
具有距離函數
d
(
x
,
y
)
=
|
log
(
y
/
x
)
|
{\displaystyle d(x,y)=\vert \log(y/x)\vert }
正實數 集合為完備度量空間。
賦範向量空間 的度量定義為
d
(
x
,
y
)
=
‖
x
−
y
‖
{\displaystyle d(x,y)=\lVert x-y\rVert }
若
(
M
,
d
)
{\displaystyle (M,\,d)}
M
{\displaystyle M}
子集
X
⊆
M
{\displaystyle X\subseteq M}
(
X
,
d
|
X
×
X
)
{\displaystyle (X,\,d|_{X\times X})}
離散度量，其中
d
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle d(x,y)=0}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
d
(
x
,
y
)
=
1
{\displaystyle d(x,y)=1}
如果
G
{\displaystyle G}
無向連通圖 ，則
G
{\displaystyle G}
頂點 集合
V
{\displaystyle V}
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
幾何群論 裏，該度量可適用於一個群的凱萊圖 上，並稱之為字度量 。
萊文斯坦距離 是衡量兩個字串
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
編輯距離 的一個例子。如果
M
{\displaystyle M}
連通 黎曼流形 ，則通過把在兩點之間的距離定義為連接兩點的路徑（連續可微曲線 ）之長度的下確界 ，將
M
{\displaystyle M}
類似的，在 3D 中在多面體 的表面上的度量包括平常的度量，在表面上的距離；在多面體的邊上第三個度量是路徑為邊的度量。例如，在單位立方體 相對頂點 之間的距離分別是
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
3
{\displaystyle 3}
如果
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
郝斯多夫距離
d
(
X
,
Y
)
:=
inf
{
r
|
(
∀
x
∈
X
∃
y
∈
Y
(
d
(
x
,
y
)
<
r
)
)
∧
(
∀
y
∈
Y
∃
x
∈
X
(
d
(
x
,
y
)
<
r
)
)
}
{\displaystyle d(X,Y):=\inf \lbrace r|(\forall x\in X\exists y\in Y(d(x,y)<r))\land (\forall y\in Y\exists x\in X(d(x,y)<r))\rbrace }
K
(
M
)
{\displaystyle K(M)}
K
(
M
)
{\displaystyle K(M)}
M
{\displaystyle M}
由某些體上的所有
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
秩 距離
d
(
X
,
Y
)
=
r
a
n
k
(
Y
−
X
)
{\displaystyle d(X,Y)=\mathrm {rank} (Y-X)}
度量空間是個仿緊緻 [ 2] 郝斯多夫空間 [ 3] 正規空間 （且實際上是個完美正規空間 ）。度量空間也是個第一可數空間 ，因為可使用具有理數半徑的球作為該空間的基 。
依據提策擴展定理 ，每個度量空間都能具有單位分解 ，且每個定義於度量空間的閉子集上之連續實數值函數均能擴展成整個空間的連續映射。每個定義於度量空間的子集上之實數值利普希茨連續映射 亦能擴展成整個空間的利普希茨連續映射。
對於度量空間
(
M
,
d
)
{\displaystyle (M,\,d)}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
r
>
0
{\displaystyle r>0}
開球
B
(
x
;
r
)
:=
{
y
∈
M
|
d
(
x
,
y
)
<
r
}
{\displaystyle B(x;r):=\left\{y\in M\,{\bigg |}\,d(x,\,y)<r\right\}}
這樣的話，若取所有開球構成的集合為拓撲基 （詳見基的範例 ）
B
d
:=
{
A
∈
P
(
M
)
|
∃
a
∃
r
{
(
a
∈
M
)
∧
(
r
>
0
)
∧
(
∀
x
∈
M
)
[
(
a
∈
A
)
⇔
(
d
(
x
,
a
)
<
r
)
]
}
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{d}:=\left\{A\in {\mathcal {P}}(M)\,{\bigg |}\,\exists a\exists r\{(a\in M)\wedge (r>0)\wedge (\forall x\in M)[\,(a\in A)\Leftrightarrow (d(x,\,a)<r)\,]\}\right\}}
那就可以定義以下的拓撲結構
τ
d
:=
{
O
∈
P
(
M
)
|
∃
A
[
(
A
⊆
B
d
)
∧
(
O
=
⋃
A
)
]
}
{\displaystyle \tau _{d}:=\left\{O\in {\mathcal {P}}(M)\,{\bigg |}\,\exists {\mathcal {A}}\left[\,({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}_{d})\wedge \left(O=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\,\right]\right\}}
也就是把開集定義成任意個開球的併集 ，這樣的話任意度量空間都自然地是個拓撲空間 。簡便起見，也會以度量空間
(
M
,
d
)
{\displaystyle (M,\,d)}
(
M
,
τ
d
)
{\displaystyle (M,\,\tau _{d})}
反之，若可從某拓撲空間內建構出一個符合上述關係的度量，則稱此拓撲空間為可度量化 空間；進一步的細節請見烏雷松度量化定理 。
證明
(
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
X
{\displaystyle X}
M
−
X
{\displaystyle M-X}
A
⊆
B
d
{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}_{d}}
M
−
X
=
⋃
A
{\displaystyle M-X=\bigcup {\mathcal {A}}}
也就是說
(1)
∀
x
{
[
¬
(
x
∈
X
)
∧
(
x
∈
M
)
]
⇔
∃
O
[
(
x
∈
O
)
∧
(
O
∈
A
)
]
}
{\displaystyle \forall x\{\,[\,\neg (x\in X)\wedge (x\in M)\,]\Leftrightarrow \exists O[\,(x\in O)\wedge (O\in {\mathcal {A}})\,]\,\}}
也就是「任何元素
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
X
{\displaystyle X}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
O
{\displaystyle O}
x
{\displaystyle x}
O
{\displaystyle O}
這樣的話，若
a
{\displaystyle a}
X
{\displaystyle X}
極限點 ，換句話說
a
∈
M
{\displaystyle a\in M}
(2)
∀
O
{
[
(
O
∈
τ
d
)
∧
(
a
∈
O
)
]
⇒
∃
b
[
(
b
∈
O
∩
X
)
∧
(
b
≠
a
)
]
}
{\displaystyle \forall O\{\,[\,(O\in \tau _{d})\wedge (a\in O)\,]\Rightarrow \exists b[\,(b\in O\cap X)\wedge (b\neq a)\,]\,\}}
此時若假設
a
∉
X
{\displaystyle a\notin X}
A
⊆
B
d
{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}_{d}}
∃
O
[
(
a
∈
O
)
∧
(
O
∈
τ
d
)
∧
(
O
∈
A
)
]
{\displaystyle \exists O[\,(a\in O)\wedge (O\in \tau _{d})\wedge (O\in {\mathcal {A}})\,]}
那這樣根據(2)式和普遍化 ，會有 （注意到以下套用了量詞的可交換性 ）
∃
b
∃
O
[
(
b
∈
O
∩
X
)
∧
(
b
≠
a
)
∧
(
O
∈
A
)
]
{\displaystyle \exists b\exists O[\,(b\in O\cap X)\wedge (b\neq a)\wedge (O\in {\mathcal {A}})\,]}
可是這樣再根據(1)式會有
∃
b
{
∃
O
[
(
b
∈
O
∩
X
)
∧
(
b
≠
a
)
∧
(
O
∈
A
)
]
∧
(
b
∉
X
)
}
{\displaystyle \exists b\{\,\exists O[\,(b\in O\cap X)\wedge (b\neq a)\wedge (O\in {\mathcal {A}})\,]\wedge (b\notin X)\,\}}
這樣就會推出以下的矛盾
∃
b
[
(
b
∈
X
)
∧
(
b
∉
X
)
]
{\displaystyle \exists b[\,(b\in X)\wedge (b\notin X)\,]}
所以根據反證法 ，
a
∈
X
{\displaystyle a\in X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
(
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
若對任
X
{\displaystyle X}
a
{\displaystyle a}
a
∈
X
{\displaystyle a\in X}
(
∀
a
)
{
{
(
a
∈
M
)
∧
∀
O
{
[
(
O
∈
τ
d
)
∧
(
a
∈
O
)
]
⇒
∃
b
[
(
b
∈
O
∩
X
)
∧
(
b
≠
a
)
]
}
}
⇒
(
a
∈
X
)
}
{\displaystyle (\forall a){\Bigg \{}\,{\bigg \{}(a\in M)\wedge \forall O\{\,[\,(O\in \tau _{d})\wedge (a\in O)\,]\Rightarrow \exists b[\,(b\in O\cap X)\wedge (b\neq a)\,]\,\}{\bigg \}}\Rightarrow (a\in X){\Bigg \}}}
換句話說，根據反證法 、德摩根定理 和量詞符號的意義 ，上式等價於
(3)
(
∀
a
∈
M
)
{
(
a
∉
X
)
⇒
∃
O
{
[
(
O
∈
τ
d
)
∧
(
a
∈
O
)
]
∧
∀
b
[
(
b
=
a
)
∨
(
b
∉
O
∩
X
)
]
}
}
{\displaystyle (\forall a\in M){\bigg \{}\,(a\notin X)\Rightarrow \exists O\{\,[\,(O\in \tau _{d})\wedge (a\in O)\,]\wedge \forall b[\,(b=a)\vee (b\notin O\cap X)\,]\,\}{\bigg \}}}
但考慮到以下的基本邏輯性質
(
a
∉
X
)
⇒
(
a
∉
X
)
{\displaystyle (a\notin X)\Rightarrow (a\notin X)}
所以從(3)有
(4)
(
∀
a
∈
M
)
{
(
a
∉
X
)
⇔
∃
O
[
(
O
∈
τ
d
)
∧
(
a
∈
O
)
∧
(
O
∩
X
=
∅
)
]
}
{\displaystyle (\forall a\in M)\{\,(a\notin X)\Leftrightarrow \exists O[\,(O\in \tau _{d})\wedge (a\in O)\wedge (O\cap X=\varnothing )\,]\}}
這樣的話，若取以下的集合
B
=
{
O
∈
τ
d
|
O
∩
X
=
∅
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{O\in \tau _{d}\,{\bigg |}\,O\cap X=\varnothing \right\}}
換句話說
∀
O
{
(
O
∈
B
)
⇔
[
(
O
∈
τ
d
)
∧
(
O
∩
X
=
∅
)
]
}
{\displaystyle \forall O\{(O\in {\mathcal {B}})\Leftrightarrow [\,(O\in \tau _{d})\wedge (O\cap X=\varnothing )\,]\}}
這樣的話，(4)等價於
(4)
(
∀
a
∈
M
)
{
(
a
∉
X
)
⇔
∃
O
[
(
O
∈
B
)
∧
(
a
∈
O
)
]
}
{\displaystyle (\forall a\in M)\{\,(a\notin X)\Leftrightarrow \exists O[\,(O\in {\mathcal {B}})\wedge (a\in O)\,]\}}
也就是說
M
−
X
=
⋃
B
{\displaystyle M-X=\bigcup {\mathcal {B}}}
故
X
{\displaystyle X}
補集
X
c
{\displaystyle X^{c}}
X
{\displaystyle X}
◻
{\displaystyle \Box }
複數數列的極限 是基於絕對值去定義的，但考慮到絕對值本身是一個定義在複數系
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
(
M
,
d
)
{\displaystyle (M,\,d)}
{
a
i
∈
M
}
i
∈
N
{\displaystyle {\{a_{i}\in M\}}_{i\in \mathbb {N} }}
M
{\displaystyle M}
序列 ，若存在
a
∈
M
{\displaystyle a\in M}
「對任意正實數
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
正整數
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
正整數
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
i
>
n
{\displaystyle i>n}
d
(
a
i
,
a
)
<
ϵ
{\displaystyle d(a_{i},\,a)<\epsilon }
那稱
a
∈
M
{\displaystyle a\in M}
{
a
i
∈
M
}
i
∈
N
{\displaystyle {\{a_{i}\in M\}}_{i\in \mathbb {N} }}
極限 ，且用
lim
i
→
∞
a
i
=
a
{\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=a}
或更簡略的
a
i
⟶
a
{\displaystyle a_{i}\longrightarrow a}
來表達。
仿造以有理數柯西序列數列構造實數 的過程，可以將任意度量空間擴張為完備空間，也就是在新度量空間取值的柯西序列 ，都會在新度量的意義下收斂 。
以下的結果歷史上是由費利克斯·郝斯多夫 於1914年首先提出的。[ 4]
對於任意度量空間
(
M
,
d
)
{\displaystyle (M,\,d)}
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
M
=
{
{
a
i
∈
M
}
i
∈
N
|
(
∀
ϵ
>
0
)
(
∃
n
∈
N
)
(
∀
i
∈
N
)
(
∀
j
∈
N
)
[
(
i
,
j
≥
n
)
⇒
(
d
(
a
i
,
a
j
)
<
ϵ
)
]
}
{\displaystyle {\mathcal {M}}=\left\{{\{a_{i}\in M\}}_{i\in \mathbb {N} }{\bigg |}(\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall i\in \mathbb {N} )(\forall j\in \mathbb {N} )[\,(i,\,j\geq n)\Rightarrow \left(\,d(a_{i},\,a_{j})<\epsilon \right)\,]\right\}}
也就是說，
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
M
{\displaystyle M}
柯西序列 所構成的集合。然後定義以下的等價關係
∼=
{
(
{
a
i
}
n
∈
N
,
{
b
i
}
n
∈
N
)
∈
M
2
|
lim
i
→
∞
d
(
a
i
,
b
i
)
=
0
}
{\displaystyle \sim =\left\{(\{a_{i}\}_{n\in \mathbb {N} },\,\{b_{i}\}_{n\in \mathbb {N} })\in {\mathcal {M}}^{2}{\bigg |}\lim _{i\to \infty }d(a_{i},\,b_{i})=0\right\}}
也就是兩序列之間的距離趨近於零，則被認為是等價的。接下來取
M
¯
=
M
/
∼
{\displaystyle {\overline {M}}={\mathcal {M}}/\sim }
∼
{\displaystyle \sim }
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
等價類 所構成的集合。
這樣可以定義一個函數
d
¯
:
M
¯
×
M
¯
→
R
{\displaystyle {\overline {d}}:{\overline {M}}\times {\overline {M}}\to \mathbb {R} }
d
¯
(
[
{
a
i
}
n
→
N
]
,
[
{
b
i
}
n
∈
N
]
)
=
lim
i
→
∞
d
(
a
i
,
b
i
)
{\displaystyle {\overline {d}}\left([\{a_{i}\}_{n\to \mathbb {N} }],\,[\{b_{i}\}_{n\in \mathbb {N} }]\right)=\lim _{i\to \infty }d(a_{i},b_{i})}
也就是新的度量，是等價類之間距離的極限值。
為了證明的確可以定義這樣的函數，要先證明對任意柯西序列
{
a
i
}
n
∈
N
,
{
b
i
}
n
∈
N
∈
M
{\displaystyle \{a_{i}\}_{n\in \mathbb {N} },\,\{b_{i}\}_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {M}}}
lim
i
→
∞
d
(
a
i
,
b
i
)
{\displaystyle \lim _{i\to \infty }d(a_{i},b_{i})}
根據
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
柯西序列 ）的定義，對任意正實數
ϵ
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )}
正整數
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
正整數
i
,
j
∈
N
{\displaystyle i,\,j\in \mathbb {N} }
i
,
j
>
n
{\displaystyle i,\,j>n}
d
(
a
i
,
a
j
)
<
ϵ
2
{\displaystyle d(a_{i},\,a_{j})<{\frac {\epsilon }{2}}}
d
(
b
i
,
b
j
)
<
ϵ
2
{\displaystyle d(b_{i},\,b_{j})<{\frac {\epsilon }{2}}}
一個集合的直徑。 賦距空間 M 被稱為有界 的，如果存在某個數 r ，使得對於所有 M 中的 x 和 y 有 d (x ,y ) ≤ r 。r 最小可能的值稱之為 M 的直徑 。空間 M 稱之為預緊緻 的或完全有界 r > 0 存在有限多個半徑為 r 的開球，其併集覆蓋 M 。因為這些球為有限個，所以該空間的直徑亦為有限值，從而得出(使用三角不等式 )所有完全有界空間都是有界的。但逆命題不成立，因為任何無限集合均可給定其離散度量 (上面第一個例子)，使得該空間是有界的，但不是完全有界的。
須注意，在討論實數 空間的區間 及歐氏空間的區域時，有時會將有界集合指為「有限區間」或「有限區域」。不過，有界性與「有限」之間一般並無關連；有限通常意含着有界，但反之不一定成立。
度量空間 M 是緊緻的，若每個 M 內的序列均有個子序列 ，會收斂於 M 內的一點。這稱為序列緊緻性 ，且在度量空間（但不是一般拓撲空間）裏，這等價於可數緊緻 與以開覆蓋 定義之緊緻性 等拓撲性質。
緊緻度量空間的例子包括具絕對值度量的閉區間 [0,1]、所有具有限多個點的度量空間，以及康托爾集 。每個緊緻集合的閉子集亦是緊緻的。
一度量空間為緊緻的，當且僅當該空間是完備的，且為完全有界的。這即是所謂的海涅－博雷爾定理 。須注意，緊緻性僅決取於拓撲，而有界性則決取於度量。
勒貝格數引理 表示，對於緊緻度量空間 M 內的每個開覆蓋，均存在一個「勒貝格數」δ，使得每個 M 內直徑 < δ 的子集均會被包含於某些覆蓋內。
每個緊緻度量空間均為第二可數 [ 5] 康托爾集 的連續 像 。（後者由帕維爾·亞歷山德羅夫 與帕維爾·薩穆伊洛維奇·烏雷松 所證得。）
度量空間M 稱為局部緊緻 的，如果每一點都有一個緊緻鄰域 。歐氏空間為局部緊紗的，但無限維巴拿赫空間則不是。
度量空間M 稱為正態 閉 球 都是緊緻的。正態空間是完備且局部緊緻的，但局部緊緻空間未必是正態的。
度量空間 M 是連通 的，若既開又閉的子集只有空集與 M 本身。
度量空間 M 是路徑連通 的，若對於 M 內的任兩點 x、y，均存在一個連續映射
f
:
[
0
,
1
]
→
M
{\displaystyle f\colon [0,1]\to M}
上述性質均有相對的局部定義：局部連通空間 與局部路徑連通空間 。
單連通 空間在某一層面上來說，可說是個沒有「洞」的空間。
一度量空間稱之為可分空間 ，若該空間有可數 稠密 子集。典型的例子為實數 或任何一個歐氏空間 。對於度量空間（但不包括一般拓撲空間）可分性等價於第二可數 ，亦等價於林德勒夫性質 。
假設 (M 1 ,d 1 ) 與 (M 2 ,d 2 ) 為兩個度量空間。
映射
f
:
M
1
→
M
2
{\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}
一般拓撲學的連續性
對於每個在
M
2
{\displaystyle M_{2}}
U
{\displaystyle U}
原像
f
−
1
(
U
)
{\displaystyle f^{-1}(U)}
M
1
{\displaystyle M_{1}}
這是在拓撲學裏連續性的一般定義。
序列連續性
若
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
M
1
{\displaystyle M_{1}}
M
1
{\displaystyle M_{1}}
x
{\displaystyle x}
(
f
(
x
n
)
)
{\displaystyle (f(x_{n}))}
M
2
{\displaystyle M_{2}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
這是由愛德華·海涅 所提出的序列連續性
ε-δ定義
對於每個在
M
1
{\displaystyle M_{1}}
x
{\displaystyle x}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
M
1
{\displaystyle M_{1}}
y
{\displaystyle y}
d
1
(
x
,
y
)
<
δ
⇒
d
2
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
<
ε
.
{\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \Rightarrow d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}
這用到了極限的(ε, δ)定義 奧古斯丁·路易·柯西 所提出。
此外，
f
{\displaystyle f}
M
1
{\displaystyle M_{1}}
每個緊緻集合在連續函數下的像 亦是緊緻的，且每個連通集合在連續函數下的像亦是連通的。
映射 ƒ : M 1 → M 2 為一致連續 的，若對於每個 ε > 0，均存在 δ > 0，使得
d
1
(
x
,
y
)
<
δ
⇒
d
2
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
<
ε
for all
x
,
y
∈
M
1
.
{\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \Rightarrow d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon \quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in M_{1}.}
每個一致連續映射 ƒ : M 1 → M 2 均是連續的。若 M 1 是緊緻的，則反向的陳述亦會成立。（海涅－康托爾定理 ）
一致連續映射會將 M 1 內的柯西序列 轉換成 M 2 內的柯西序列。對於連續映射，該陳述則不一定會成立；例如，一個將開區間 (0,1) 滿射至實數線的連續映射即會將柯西序列轉換成無界的序列。
給定一數 K > 0，映射 ƒ : M 1 → M 2 為利普希茨連續 ，若
d
2
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
≤
K
d
1
(
x
,
y
)
for all
x
,
y
∈
M
1
.
{\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in M_{1}.}
每個利普希茨連續映射均是一致連續的，但反之不一定成立。
若 K < 1，則 f 稱之為壓縮映射 。令 M 2 = M 1 ，且 M 1 是完備的。若 f 是個壓縮映射，則 f 會有個唯一的不動點（巴拿赫不動點定理 ）。若 M 1 是緊緻的，則條件可稍微放寬一點：f 會有個唯一的不動點，若
d
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
<
d
(
x
,
y
)
for all
x
≠
y
∈
M
1
{\displaystyle d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x\neq y\in M_{1}}
映射 f :M 1 →M 2 稱之為等距同構 ，若
d
2
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
=
d
1
(
x
,
y
)
for all
x
,
y
∈
M
1
{\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in M_{1}}
等距同構總會是單射 的；緊緻或完備集合在等距同構下的像仍分別會是緊緻或完備的。不過，若等距同構不是滿射 的，則閉（或開）集的像不一定是閉（或開）的。
映射 f : M 1 → M 2 稱之為擬等距同構 ，若存在常數 A ≥ 1 與 B ≥ 0，使得
1
A
d
2
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
−
B
≤
d
1
(
x
,
y
)
≤
A
d
2
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
+
B
for all
x
,
y
∈
M
1
{\displaystyle {\frac {1}{A}}d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f(x),f(y))+B{\text{ for all }}x,y\in M_{1}}
且有一個常數 C ≥ 0，使得 M 2 內的每個點與像 f (M 1 ) 內的某個點間之距離至多為 C。
須注意，擬等距同構不需要是連續的。擬等距同構比較度量空間的「大尺度結構」；多用於幾何群論 內與字度量 有關的理論。
度量空間之間有着不同的等價性。依據兩個空間之間能夠存在的函數，可給出不同等價的程度與類型。
給定兩個賦距空間 (M 1 , d 1 ) 和 (M 2 , d 2 ):
這兩個空間稱之為同胚 （拓撲同構）的，若存在兩者間的同胚 （即兩個方向均為連續 的對射 ）。在此條件下，這兩個空間能導出相同的拓撲空間 。
這兩個空間稱之為一致同構 的，若存在兩者間的一致同構 （即兩個方向均為一致連續的對射 ）。
這兩個空間稱之為等距同構 的，若存在兩者間的等距同構 對射 。在此一條件下，兩個度量空間基本上是相同的。
這兩個空間稱之為擬等距同構 的，若存在兩者間的擬等距同構 。
構造分離一個點與一個閉集的函數(作為完全正則空間 的要求)的簡單方式是考慮點和集合之間的距離 。 如果 (M ,d ) 是賦距空間，S 是 M 的子集 而 x 是 M 的點，則可定義從 x 到 S 的距離為
d
(
x
,
S
)
=
inf
{
d
(
x
,
s
)
:
s
∈
S
}
{\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\}}
inf
{\displaystyle \inf }
下確界 。d(x, S) = 0 當且僅當 x 包含於 S 的閉包 內。此外，可將三角不等式 推廣如下：
d
(
x
,
S
)
≤
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
S
)
,
{\displaystyle d(x,S)\leq d(x,y)+d(y,S),}
其中，可證明映射
x
↦
d
(
x
,
S
)
{\displaystyle x\mapsto d(x,S)}
給定兩個 M 內的子集 S 與 T，可定義郝斯多夫距離 為
d
H
(
S
,
T
)
=
max
{
sup
{
d
(
s
,
T
)
:
s
∈
S
}
,
sup
{
d
(
t
,
S
)
:
t
∈
T
}
}
{\displaystyle d_{H}(S,T)=\max\{\sup\{d(s,T):s\in S\},\sup\{d(t,S):t\in T\}\}}
sup
{\displaystyle \sup }
上確界 。一般而言，郝斯多夫距離 d H (S ,T ) 可以是無限大的。兩個集合的在郝斯多夫距離上會互相靠近，若其中一個集合的每個元素會靠近另一集合的某個元素。
郝斯多夫距離 d H 會將由所有 M 內非空緊緻子集所組成之集合 K(M) 轉換成一個度量空間。可證明若 M 是完備的，則 K(M) 亦是完備的。（緊緻子集的收斂性亦可由庫拉托夫斯基收斂 給出。）
然後，可定義任兩個度量空間之間的格羅莫夫-郝斯多夫距離 為這兩個空間的等距同構嵌入版本間之最短郝斯多夫距離。使用此一距離，由所有（等距同構類型的）緊緻度量空間所組成的類本身即會形成一個度量空間。
如果
(
M
1
,
d
1
)
,
…
,
(
M
n
,
d
n
)
{\displaystyle (M_{1},d_{1}),\ldots ,(M_{n},d_{n})}
|
|
⋅
|
|
:
R
n
→
R
{\displaystyle ||\cdot ||:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
歐幾里得範數 ，則由定義在
M
1
×
…
×
M
n
{\displaystyle M_{1}\times \ldots \times M_{n}}
ρ
{\displaystyle \rho }
ρ
(
x
→
,
y
→
)
=
|
|
(
d
1
(
x
1
,
y
1
)
,
…
,
d
n
(
x
n
,
y
n
)
)
|
|
{\displaystyle \rho ({\vec {x}},{\vec {y}})=||(d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}))||}
定義的度量空間
(
M
1
×
…
×
M
n
,
ρ
)
{\displaystyle {\Big (}M_{1}\times \ldots \times M_{n},\rho {\Big )}}
等價於積空間 ，度量
ρ
{\displaystyle \rho }
積度量 。此度量空間上的拓撲與積空間上的拓撲等價，同理，積空間
M
1
×
…
×
M
n
{\displaystyle M_{1}\times \ldots \times M_{n}}
曼哈頓範數 、p-範數 、最大範數 ，及其他當座標內的分量增加時不會減少（符合三角不等式 ）之範數，所給出的度量均拓撲同構。
同樣的，賦距空間的可數積度量可以定義為如下度量：
d
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
∞
1
2
i
d
i
(
x
i
,
y
i
)
1
+
d
i
(
x
i
,
y
i
)
.
{\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.}
度量空間的不可數積度量不一定是可度量化的。例如，
R
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}
第一可數空間 ，因此不能度量化。
值得注意的是，在一個空間
(
M
,
d
)
{\displaystyle (M,d)}
d
:
M
×
M
→
R
+
{\displaystyle d:M\times M\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}
N
(
d
,
d
)
{\displaystyle N(d,d)}
M
×
M
{\displaystyle M\times M}
若 M 為度量空間，其度量為 d，且 ~ 為 M 上之等價關係 ，則可在商集合 M/~ 上賦加下面的（偽）度量。給定兩個等價類 [x] 與 [y]，可定義
d
′
(
[
x
]
,
[
y
]
)
=
inf
{
d
(
p
1
,
q
1
)
+
d
(
p
2
,
q
2
)
+
⋯
+
d
(
p
n
,
q
n
)
}
{\displaystyle d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\}}
其中，
[
p
1
]
=
[
x
]
{\displaystyle [p_{1}]=[x]}
[
q
i
]
=
[
p
i
+
1
]
{\displaystyle [q_{i}]=[p_{i+1}]}
[
q
n
]
=
[
y
]
{\displaystyle [q_{n}]=[y]}
偽度量 ，即 d'([x],[y])=0 不一定蘊涵 [x] = [y]。不過，對於良好的等價關係（如將多面體沿着面膠合），則會是個度量。此外，若 M 是個緊緻空間 ，則該度量在 M/~ 上導出之拓撲為商拓撲 。
商度量 d 具有下列泛性質 ：若
f
:
(
M
,
d
)
⟶
(
X
,
δ
)
{\displaystyle f:(M,d)\longrightarrow (X,\delta )}
度量映射
δ
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
≤
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle \delta (f(x),f(y))\leq d(x,y)}
x
∼
y
,
{\displaystyle x\sim y,}
f
¯
:
M
/
∼⟶
X
{\displaystyle {\overline {f}}\colon M/\sim \longrightarrow X}
f
¯
(
[
x
]
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}
f
¯
:
(
M
/
∼
,
d
′
)
⟶
(
X
,
δ
)
{\displaystyle {\overline {f}}\colon (M/\sim ,d')\longrightarrow (X,\delta )}
一個拓撲空間是序列 的，當且僅當該空間是個度量空間的商空間。[ 6]
每個度量空間都自然會是個一致空間 ，而每個一致空間也都自然會是個拓撲空間 。因此，一致空間與拓撲空間均可視為度量空間的推廣。
若考量上面給定之度量空間的第一個定義，放寬定義中的第二個條件，則可得到偽度量空間 [ 7] 擬度量空間 與半度量空間 。
若距離函數的對應域 為擴展實數線 R∪{+∞}，定義中的四個條件維持不變，則稱該空間為「擴展度量空間」或「
∞
{\displaystyle \infty }
[ 7]
趨近空間 連續性空間 是度量空間與偏序集 的推廣，用來統整度量空間與域 的概念。部分度量空間是為了對度量空間作最小化的推廣，使得每個點對自身的距離不再一定為零。[ 8]
有序集
(
R
,
≥
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}
a
≥
b
{\displaystyle a\geq b}
態射
a
→
b
{\displaystyle a\to b}
範疇 。使用 + 作為張量積 ，0 作為單位元素 ，該集合可變成一個么半範疇
R
∗
{\displaystyle R^{*}}
R
∗
{\displaystyle R^{*}}
豐富範疇
M
∗
{\displaystyle M^{*}}
[ 9]
令
Ob
(
M
∗
)
:=
M
{\displaystyle \operatorname {Ob} (M^{*}):=M}
M
∗
{\displaystyle M^{*}}
對於每個 M 內的元素 X、Y，令
Hom
(
X
,
Y
)
:=
d
(
X
,
Y
)
∈
Ob
(
R
∗
)
{\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y):=d(X,Y)\in \operatorname {Ob} (R^{*})}
M
∗
{\displaystyle M^{*}}
態射複合
Hom
(
Y
,
Z
)
⊗
Hom
(
X
,
Y
)
→
Hom
(
X
,
Z
)
{\displaystyle \operatorname {Hom} (Y,Z)\otimes \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (X,Z)}
R
∗
{\displaystyle R^{*}}
d
(
y
,
z
)
+
d
(
x
,
y
)
≥
d
(
x
,
z
)
{\displaystyle d(y,z)+d(x,y)\geq d(x,z)}
單位態射
0
→
Hom
(
X
,
X
)
{\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} (X,X)}
0
≥
d
(
X
,
X
)
{\displaystyle 0\geq d(X,X)}
^ Fréchet, M. Maurice. Sur quelques points du calcul fonctionnel . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1884-1940). 1906-12-01, 22 (1). ISSN 0009-725X doi:10.1007/BF03018603 （意大利語） . ^ Rudin, Mary Ellen. A new proof that metric spaces are paracompact . Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 20, No. 2. (Feb., 1969), p. 603.
^ metric spaces are Hausdorff . PlanetMath . ^ G. Ye, Shilov. Mathematical Analysis: A Special Course. : Chapter 2. ^ PlanetMath: a compact metric space is second countable 互聯網檔案館 的存檔 ，存檔日期2009-02-05.^ Goreham, Anthony. Sequential convergence in Topological Spaces （頁面存檔備份 ，存於互聯網檔案館 ）. Honours' Dissertation, Queen's College, Oxford (April, 2001), p. 14
^ 7.0 7.1 Pascal Hitzler and Anthony Seda, Mathematical Aspects of Logic Programming Semantics. Chapman and Hall/CRC, 2010.
^ 存档副本 . [2015-10-04 ] . （原始內容存檔 於2017-07-27）. ^ Lawvere 2002
提示：此條目頁的主題不是測度空間。
![{\displaystyle {\mathcal {B}}_{d}:=\left\{A\in {\mathcal {P}}(M)\,{\bigg |}\,\exists a\exists r\{(a\in M)\wedge (r>0)\wedge (\forall x\in M)[\,(a\in A)\Leftrightarrow (d(x,\,a)<r)\,]\}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77eb7f019a47e116f3756226524334fecc0819a9)
![{\displaystyle \tau _{d}:=\left\{O\in {\mathcal {P}}(M)\,{\bigg |}\,\exists {\mathcal {A}}\left[\,({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}_{d})\wedge \left(O=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\,\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf658db247b2f9ed0a543de3c92753cc1abf4970)
![{\displaystyle \forall x\{\,[\,\neg (x\in X)\wedge (x\in M)\,]\Leftrightarrow \exists O[\,(x\in O)\wedge (O\in {\mathcal {A}})\,]\,\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455a2d87da66338060bb5efbe6bd7efce064c5e6)
![{\displaystyle \forall O\{\,[\,(O\in \tau _{d})\wedge (a\in O)\,]\Rightarrow \exists b[\,(b\in O\cap X)\wedge (b\neq a)\,]\,\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6c8d848bf053a253439e19c842aebbd8170eaf)
![{\displaystyle \exists O[\,(a\in O)\wedge (O\in \tau _{d})\wedge (O\in {\mathcal {A}})\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388bb2a4d78b079197a92f108a624cd0c0f4d460)
![{\displaystyle \exists b\exists O[\,(b\in O\cap X)\wedge (b\neq a)\wedge (O\in {\mathcal {A}})\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85c492d6f145f422968010653486dd96d79949b)
![{\displaystyle \exists b\{\,\exists O[\,(b\in O\cap X)\wedge (b\neq a)\wedge (O\in {\mathcal {A}})\,]\wedge (b\notin X)\,\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f24ba22c82fadced192235287a8b3305a540d9)
![{\displaystyle \exists b[\,(b\in X)\wedge (b\notin X)\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27725c01366b962d7c15a2b46572e82e4514e721)
![{\displaystyle (\forall a){\Bigg \{}\,{\bigg \{}(a\in M)\wedge \forall O\{\,[\,(O\in \tau _{d})\wedge (a\in O)\,]\Rightarrow \exists b[\,(b\in O\cap X)\wedge (b\neq a)\,]\,\}{\bigg \}}\Rightarrow (a\in X){\Bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228afe00ac02ccaf9dc23e5d78cfcd37ccf76896)
![{\displaystyle (\forall a\in M){\bigg \{}\,(a\notin X)\Rightarrow \exists O\{\,[\,(O\in \tau _{d})\wedge (a\in O)\,]\wedge \forall b[\,(b=a)\vee (b\notin O\cap X)\,]\,\}{\bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815326b88b12e92d54c7442ce8ab97860c73d180)
![{\displaystyle (\forall a\in M)\{\,(a\notin X)\Leftrightarrow \exists O[\,(O\in \tau _{d})\wedge (a\in O)\wedge (O\cap X=\varnothing )\,]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863c66e0c594159266d2bc286d57332d9fc10da1)
![{\displaystyle \forall O\{(O\in {\mathcal {B}})\Leftrightarrow [\,(O\in \tau _{d})\wedge (O\cap X=\varnothing )\,]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb1f344737607174de96db1906bc897f675f891d)
![{\displaystyle (\forall a\in M)\{\,(a\notin X)\Leftrightarrow \exists O[\,(O\in {\mathcal {B}})\wedge (a\in O)\,]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85067fb580f35b59d1de3628f8b367ed430df298)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}=\left\{{\{a_{i}\in M\}}_{i\in \mathbb {N} }{\bigg |}(\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall i\in \mathbb {N} )(\forall j\in \mathbb {N} )[\,(i,\,j\geq n)\Rightarrow \left(\,d(a_{i},\,a_{j})<\epsilon \right)\,]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069f590ec0fe62b50532abcfc93566d7dad36b3a)
![{\displaystyle {\overline {d}}\left([\{a_{i}\}_{n\to \mathbb {N} }],\,[\{b_{i}\}_{n\in \mathbb {N} }]\right)=\lim _{i\to \infty }d(a_{i},b_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9cceb37bbc62bb07dd7a2f736120ab8e8019e38)
![{\displaystyle f\colon [0,1]\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e6120470fdbecbc919951edc1e54d516e5f461)
![{\displaystyle d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76c4134b02163411e4c3529bd699762f1e35911)
![{\displaystyle [p_{1}]=[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d73570f663c6c3b07374f267f5fa4bc1135445)
![{\displaystyle [q_{i}]=[p_{i+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9e70e8ebd5c1c3380856df7cf8e3f7c395ab87)
![{\displaystyle [q_{n}]=[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced6b87b086042c63417641c63edb4cfc5c3d0a1)
![{\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa40e344823d6033e5b82eaf6f31f3a562c6c9c6)
