斯豪滕-奈恩黑斯括號

在微分幾何中，斯豪滕–奈恩黑斯括號（Schouten–Nijenhuis bracket，國際音標：[ˈsχʌutən]-[ˈnɛiənhœys]），也稱為斯豪滕括號，是定義在光滑流形上的多重向量場上的一種分次李括號，推廣了向量場的李括號。有兩種不同的版本，讓人相當不解地是有相同的名字。最通常的版本是定義在交錯多重向量場上，使得其成為一個格爾斯滕哈伯代數；但另一個版本定義在對稱多重向量場上，這或多或少與餘切叢上的泊松括號相同。它由揚·阿諾爾德斯·斯豪滕在1940年與1953年發現，其性質為他的學生阿爾伯特·奈恩黑斯在1955年研究。它與奈恩黑斯-理查德森括號及弗勒利歇爾-奈恩黑斯括號有聯繫但不相同。

定義與性質

一個交錯多重向量場是流形 M 的切叢上外代數的一個截面。交錯多重向量場在 a 與 b 的乘法 ab（一些作者使用 a∧b）下形成一個分次超交換環。這與通常微分形式代數 Ω^∗M 是對偶的，對偶關係是齊次元素上的配對

$\omega (a_{1}a_{2}\dots a_{p})=\left\{{\begin{matrix}\omega (a_{1},\dots ,a_{p})&(\omega \in \Omega ^{p}M)\\0&(\omega \not \in \Omega ^{p}M)\end{matrix}}\right.$

∧^pTM 中多重向量 A 的次數定義為 |A| = p。

斜對稱斯豪滕–奈恩黑斯括號是向量場的李括號到交錯多重向量場分次代數的惟一擴張，使得分次多重向量場成為一個格爾斯滕哈伯代數。它由向量場的李括號以如下方式給出

$[a_{1}\cdots a_{m},b_{1}\cdots b_{n}]=\sum _{i,j}(-1)^{i+j}[a_{i},b_{j}]a_{1}\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_{m}b_{1}\cdots b_{j-1}b_{j+1}\cdots b_{n}$

對任何向量場 a_i 與 b_j。Schouten–Nijenhuis 括號具有如下性質：

• |ab| = |a| + |b|（乘法的次數為 0）
• |[a,b]| = |a| + |b| − 1（斯豪滕–奈恩黑斯括號的次數為 −1）
• (ab)c = a(bc), ab = (−1)^|a||b|ba（乘法滿足結合律與（超）交換律）
• [a, bc] = [a, b]c + (−1)^{|a|(|b| − 1)}b[a, c]（泊松恆等式）
• [a,b] = −(−1)^{(|a| − 1)(|b| − 1)} [b,a]（Schouten-Nijenhuis 括號的反對稱性）
• [[a,b],c] = [a,[b,c]] − (−1)^{(|a| − 1)(|b| − 1)}[b,[a,c]]（Schouten–Nijenhuis 括號的雅可比恆等式）
• 如果 f 與 g 是函數（次數為 0 的多重向量），則 [f,g] = 0。
• 如果 a 是一個向量場，則 [a,b] = L_ab 是多重向量場 b 沿着 a 的通常李導數；特別地，如果 a 與 b 是向量場則 斯豪滕–奈恩黑斯括號就是通常向量場的李括號。

如果分次變為相反奇偶性（從而奇、偶子空間互換），則斯豪滕–奈恩黑斯括號使多重向量場成為一個李超代數，不過在新分次下它不再是超交換環。相應地，雅可比恆等式也可以表示為對稱形式

$(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}[a,[b,c]]+(-1)^{(|b|-1)(|c|-1)}[b,[a,c]]+(-1)^{|c|-1)(|a|-1)}[c,[a,b]]=0.$

推廣

A. M. 維諾格拉多夫（Vinogradov）在1990年得出交錯多重向量場的斯豪滕–奈恩黑斯括號與弗勒利歇爾-奈恩黑斯括號一般推廣。

斯豪滕–奈恩黑斯括號的一個版本也能類似地定義在對稱多重向量場上。對稱多重向量場可與 M 的餘切叢 T^*(M) 上在纖維上是多項式的函數等價，在這種等化下對稱斯豪滕–奈恩黑斯括號對應於辛流形 T^*(M) 上函數的泊松括號。1995年，Dubois-Violette 與 Peter W. Michor 將對稱多重向量場的斯豪滕–奈恩黑斯括號與弗勒利歇爾－奈恩黑斯括號推廣到一般情形。

參考文獻

• Michel Dubois-Violette, Peter W. Michor A common generalization of the Frölicher–Nijenhuis bracket and the Schouten bracket for symmetric multi vector fields Indag. Mathem., N.S. 6, 1 (1995) 51–66
• Charles-Michel Marle The Schouten-Nijenhuis bracket and interior products，Journal of Geometry and Physics, 23, 350–359, 1997.
• A. Nijenhuis, Jacobi-type identities for bilinear differential concomitants of certain tensor fields I, Indagationes Math. 17 (1955) 390–403.
• J.A. Schouten, Über Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen Indag. Math. , 2 (1940) pp. 449–452
• J. A. Schouten, On the differential operators of the first order in tensor calculus, In Convegno Int. Geom. Diff. Italia, 1953, Ed. Cremonese, pages 1–7.
• A. M. Vinogradov, Unification of Schouten–Nijenhuis and Frölicher–Nijenhuis brackets, cohomology and super differential operators, Sov. Math. Zametki 47 (1990).

外部連結

• Nicola Ciccoli Schouten–Nijenhuis bracket in notes on From Poisson to Quantum Geometry