測地曲率

測地曲率：設P是曲線（C）上一點，$\alpha$是（C）在P點的單位切向量，$\beta$是主法向量，$\gamma$是副法向量。再設n是曲面S在P點的單位法向量。命$\varepsilon =n\times \alpha$。

曲線（C）在P點的曲率向量${\ddot {r}}=k\beta$在$\varepsilon$上的投影（也就是在S上P點的切平面上的投影）

$k_{g}={\ddot {r}}\cdot \varepsilon$

稱為曲線（C）在P點的測地曲率。

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相關命題

• 曲面S上的曲線（C），它在P點的測地曲率的絕對值等於（C）在P點的切平面上的正投影曲線（C'）的曲率。

• $k^{2}=k_{g}^{2}+k_{n}^{2}$

式中，k為曲線在P點的曲率，$k_{n}$為曲線在P點的法曲率。

二維曲面常用的測地曲率公式

今有一緊緻定向的二維曲面S，其線元素可用曲面的第一基本形式的系數表示為：$ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}\,$，則其度量張量可表成下列關係式：

$(g_{ij})={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\\\end{pmatrix}}$

每當進行涉及到微分幾何的實用演算時，都會用到其分量形式以利細部計算，因此有必要將前述向量形式定義的測地曲率以其分量形式來表徵，以下將界定在二維曲面上局部範圍，有關公式及其推導過程，可於列出的相關參考文獻中找到。

二維曲面測地曲率之Beltrami公式

令$C$為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長$s$為參數，則曲線$C$的參數方程式為$C:r(s)=(u(s),v(s))$，則它在P點的測地曲率$k_{g}$可表為下列克氏符號（全稱克里斯多福符號，Christoffel symbols）相關的表示式 ：

$k_{g}={\sqrt {EG-F^{2}}}\left[\Gamma _{11}^{2}\left({\frac {du}{ds}}\right)^{3}+\left(2\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\right)\left({\frac {du}{ds}}\right)^{2}{\frac {dv}{ds}}+\left(\Gamma _{22}^{2}-2\Gamma _{12}^{1}\right){\frac {du}{ds}}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{2}-\Gamma _{22}^{1}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{3}+{\frac {du}{ds}}{\frac {d^{2}v}{ds^{2}}}-{\frac {d^{2}u}{ds^{2}}}{\frac {dv}{ds}}\right]$

上述用克式符號表示測地曲率的一般公式即是所謂的Beltrami公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)。這裏所用的克氏符號 Γk
ij 在有些書籍還會沿用舊式的 {k
ij}符號注記。由於克式符號屬曲面的內蘊性質，而上述測地曲率一般公式只和克式符號與曲面第一基本形式有關，因此，測地曲率必然是屬曲面的內蘊幾何量。

今若曲線$C$是沿着$u=(s)$座標線的話，此時$v=$常數，使得$dv/ds=0$以及$du/ds=1/{\sqrt {g_{11}}}$，那麼其測地曲率可算得為：

$(k_{g})_{u-line}=\Gamma _{11}^{2}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{E{\sqrt {E}}}}=\Gamma _{11}^{2}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{11}^{3/2}}}\right)$

同理，假如曲線$C$是沿着$v=(s)$座標線的話，使得$u=$常數，因此$du/ds=0$以及$dv/ds=1/{\sqrt {g_{22}}}$，那麼其測地曲率可化簡為：

$(k_{g})_{v-line}=-\Gamma _{22}^{1}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{G{\sqrt {G}}}}=-\Gamma _{22}^{1}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{22}^{3/2}}}\right)$

二維曲面測地曲率之Liouville公式

令$C$為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長$s$為參數，則曲線$C$的參數方程式為$C:r(s)=(u(s),v(s))$，今其參數化是採正交座標系，換言之，第一基本形式的系數$F=0$，又令曲線$C$在P點與$u$座標線的夾角為$\theta$，則它在P點的測地曲率$k_{g}$可表為下列與$\theta (s)$夾角相關的Liouville公式 ：

${\begin{aligned}k_{g}&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}-{\dfrac {1}{2{\sqrt {G}}}}{\dfrac {\partial \ln E}{\partial v}}\cos \theta +{\dfrac {1}{2{\sqrt {E}}}}{\dfrac {\partial \ln G}{\partial u}}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}\cos \theta +(k_{g})_{v-line}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}{\sqrt {E}}{\dfrac {du}{ds}}+(k_{g})_{v-line}{\sqrt {G}}{\dfrac {dv}{ds}}\end{aligned}}$

上述公式中的$(k_{g})_{u-line}$與$(k_{g})_{v-line}$乃分屬於兩個座標線對應的測地曲率，至於它們的具體表徵是什麼，接下來將分別推導出其詳細內容。首先，考量如若曲線$C$是沿着$u=(s)$座標線的話，此時$v=$常數，則有$dv/ds=0$以及$du/ds=1/{\sqrt {E}}$，那麼該測地曲率可算得為：

$(k_{g})_{u-line}=-{\dfrac {E_{v}}{2E{\sqrt {G}}}}$

同理，假如曲線$C$是沿着$v=(s)$座標線的話，此時$u=$常數，導致$du/ds=0$以及$dv/ds=1/{\sqrt {G}}$，那麼此測地曲率可算得為：

$(k_{g})_{v-line}={\dfrac {G_{u}}{2G{\sqrt {E}}}}$

以上測地曲率之Liouville公式就已列出有三種，若覺得怎麼會有這麼多樣形式，其實還有其他變形，例如可參考網絡上更加精簡且優美的形式，這端賴解析問題時，需要配套什麼形式的公式而定。

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